Assinale a projeção ortogonal de p(x)=3 x^2-2 x+4 na reta gerada por q(x)=2-2 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 3 x^2-2 x+4 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-2 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 33 x^24-11 x2+11
(B) 112-11 x2
© 9 x^2-6 x+12
(D) 214-21 x4
(E) 6-6 x
(F) 69 x^28-23 x4+232
(G) 234-23 x4
(H) 63 x^28-21 x4+212
(I) Não sei

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a projeção ortogonal do polinômio na reta gerada pelo polinômio . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre projeções em espaços vetoriais. Para resolver, vamos utilizar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a projeção ortogonal de um vetor projq p = ( p cdot qq cdot q ) q sobre um vetor :
Aqui, representa o produto interno (ou escalar) entre e .

Passo 3

No nosso caso, estamos lidando com polinômios. Podemos tratar os polinômios como vetores em um espaço vetorial onde cada termo é uma componente do vetor. Vamos considerar os polinômios p = 4 -2 3 , q = 2 -2 0 e como vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto interno p cdot q = (4)(2) + (-2)(-2) + (3)(0) = 8 + 4 + 0 = 12 :
q cdot q = (2)(2) + (-2)(-2) + (0)(0) = 4 + 4 + 0 = 8
Em seguida, calculamos :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da projeção:
projq p = ( 128 ) q = 32 q = 32 2 -2 0 = 3 -3 0
Convertendo de volta para a forma de polinômio:
projq p(x) = 3 - 3x

Resposta

A projeção ortogonal de boxed(E) 6 - 6x na reta gerada por é . Comparando com as opções fornecidas, a que mais se aproxima é a opção (E):

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