(Mauá) Seja f: R R a função tal que f(x)=x^2. Seja g: R R a função tal que g(x)=f(x+h)-f(x)h. Calcule g(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções do tipo $ f(x) = x^2 $ e envolve o cálculo de uma nova função $ g(x) $ definida por $ g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $. Vamos precisar entender um pouco de funções e como manipular expressões algébricas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função $ f(x) $ na expressão de $ g(x) $. Sabemos que $ f(x) = x^2 $, então:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos expandir $ (x + h)^2 $ usando a identidade algébrica $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $:
(x + h)^2

Passo 4

Substituindo de volta na expressão de $ g(x) $:
g(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão no numerador:
(x^2 + 2xh + h^2) - x^2 = 2xh + h^2
Então, temos:
g(x) = 2xh + h^2h

Passo 6

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por $ h $:
h

Resposta

Portanto, a função $ g(x) $ é:
g(x)

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