Trace o ponto cujas COORDENADAS POLARES FORAM FORNECIDAS. ENTAO ENCONTRE DOIS OUTROS PARES dE coordenadas polares deste PONTO, UM COM r>0 E UM Com r<0.
(-1, pi / 5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto com coordenadas polares (-1, pi5). Coordenadas polares usam dois valores: r, que é a distância do ponto até a origem, e theta, que é o ângulo em relação ao eixo positivo dos x. Nosso objetivo é desenhar esse ponto no gráfico e encontrar mais dois pares de coordenadas polares que representem o mesmo ponto, sendo um com r > 0 e outro com r < 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Normalmente, r é positivo e indica a distância até o ponto, enquanto theta é o ângulo. Mas quando r é negativo, significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado. Ou seja, se temos r < 0, a direção efetiva do ponto é theta + pi.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso ponto (-1, pi5). Como r = -1, vamos ajustar o ângulo adicionando pi para encontrar a representação com r > 0.
r' = -r = 1
theta' = pi5 + pi = pi5 + 5pi5 = 6pi5
Então, uma coordenada equivalente com r > 0 é (1, 6pi5).

Passo 4

Agora, para encontrar uma outra representação com r < 0, podemos simplesmente escolher um ângulo que seja equivalente ao original mais algum múltiplo de 2pi (já que os ângulos se repetem a cada 2pi). Por exemplo:
theta'' = pi5 + 2pi = pi5 + 10pi5 = 11pi5
Mantendo r < 0, temos outra coordenada equivalente (-1, 11pi5).

Resposta

As duas outras coordenadas polares que representam o mesmo ponto são (1, 6pi5) e (-1, 11pi5).

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