Assinale a(s) resposta(s) correta(s); justifique:
As linhas de corrente:
a) não se podem cortar;
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos;
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula;
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo.
Resposta: (a), (b) e (d)

Passo 1

O que o enunciado pede: identificar quais das afirmativas sobre linhas de corrente (streamlines) são corretas e justificar cada escolha.
As afirmativas dadas:
a) não se podem cortar;
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos;
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula;
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo.
Informações relevantes implícitas no enunciado: fala-se de linhas de corrente em um campo de velocidade \mathbf{v} de um escoamento (pode ser estacionário ou transiente). O pedido é apenas marcar as alternativas corretas e justificar.

Passo 2

Definição precisa e ferramenta matemática que vamos usar.
Uma linha de corrente (streamline) num instante fixo t_0 é uma curva no espaço tal que, em cada ponto da curva, o vetor tangente à curva é paralelo ao vetor velocidade naquele ponto e naquele instante. Em notação, se a curva for parametrizada por \mathbf{r}(s) (onde s é um parâmetro ao longo da curva), a condição de streamline em t_0 é
\frac{d\mathbf{r}}{ds} \parallel \mathbf{v}(\mathbf{r}(s),t_0).
Em coordenadas cartesianas bidimensionais, se \mathbf{v}=(v_x(x,y,t),v_y(x,y,t)), a equação diferencial que define a streamline no tempo t_0 é
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y(x,y,t_0)}{v_x(x,y,t_0)},
desde que v_x\neq0 localmente. Esta é a ferramenta que usamos para relacionar geometricamente as linhas e o campo de velocidade.

Passo 3

Justificando a afirmativa (b): “indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos”.
Pela definição acima, o vetor tangente à linha de corrente em cada ponto é paralelo ao vetor velocidade naquele ponto e no instante fixo t_0. Isso significa exatamente que a linha de corrente mostra a direção instantânea da velocidade em cada ponto. Em linguagem de prova curta: se a curva \mathbf{r}(s) é tal que \tfrac{d\mathbf{r}}{ds}=\lambda(s)\,\mathbf{v}(\mathbf{r}(s),t_0) com \lambda(s)>0, então o sentido tangente da curva coincide com o sentido do vetor velocidade. Conclusão: a afirmativa (b) é correta. (Observação prática: streamlines dão direção, não necessariamente o módulo da velocidade.)

Passo 4

Justificando a afirmativa (a): “não se podem cortar”.
Suponha, por contradição, que duas linhas de corrente distintas se cruzem em um ponto P no mesmo instante t_0. Cada linha de corrente tem, em P, um vetor tangente. Se as duas linhas forem distintas, esses vetores tangentes em P teriam direções diferentes. Mas pela definição de linha de corrente o vetor velocidade \mathbf{v}(P,t_0) deve ser paralelo ao tangente de cada linha em P. Logo a velocidade teria de ter duas direções diferentes ao mesmo tempo no mesmo ponto — impossível para um campo de velocidade bem definido, salvo casos degenerados. A única exceção teórica é quando \mathbf{v}(P,t_0)=\mathbf{0} (ponto de estagnação): aí o vetor velocidade é nulo e a condição de tangência fica indeterminada, então várias curvas podem passar por P. Portanto, excetuando pontos de estagnação, linhas de corrente não se cortam. Como geralmente a afirmação visa esse princípio físico, (a) é considerada correta (com a ressalva técnica do ponto de estagnação).

Passo 5

Justificando por que (c) é falsa: “descrevem o caminho percorrido pela partícula”.
O caminho real que uma partícula fluidal percorre no tempo é chamado de linha de trajetória (pathline). Se uma partícula tem posição \mathbf{x}(t) e está sujeita ao campo de velocidade \mathbf{v}, sua trajetória satisfaz o sistema de equações diferenciais ordinárias
\frac{d\mathbf{x}}{dt}=\mathbf{v}(\mathbf{x}(t),t),
com condição inicial \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0. Esse objeto (a pathline) depende da evolução temporal do campo de velocidade. Já a streamline foi definida para um instante fixo t_0 e obedece à equação com t_0 fixo. Em geral, se o escoamento é não estacionário (transiente), as linhas de trajetória e as linhas de corrente não coincidem. Apenas em escoamentos estacionários (quando \mathbf{v} não depende do tempo: \mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x})) as streamlines e pathlines coincidem — aí a streamline traçada é também o caminho percorrido por qualquer partícula que passe por ela. Portanto (c) é falsa em geral; é verdadeira apenas no caso especial de escoamento estacionário. Para ver concretamente que são diferentes em geral, veja o exemplo simples no próximo passo.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (didático e simples). Considere um escoamento unidimensional no eixo x com velocidade dependente do tempo: v_x(t)=a\,t (constante a\neq0), v_y=0.
  • Streamlines no instante t_0: a razão v_y/v_x=0 indica linhas horizontais (no plano xy) naquele instante.
  • Pathline de uma partícula inicial em x(0)=0: integra-se \dfrac{dx}{dt}=a\,t dando x(t)=\dfrac{a}{2}t^2. A trajetória é uma parábola no espaço-tempo, claramente diferente das linhas horizontais obtidas como streamline em qualquer instante. Isso mostra que streamlines não descrevem, em geral, o caminho percorrido pela partícula quando o escoamento é transiente.

Passo 7

Justificando a afirmativa (d): “se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo”.
Se o campo de velocidade depende explicitamente do tempo, \mathbf{v}=\mathbf{v}(\mathbf{x},t), então a equação que define a streamline contém esse tempo como parâmetro:
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y(x,y,t_0)}{v_x(x,y,t_0)}.
Para outro instante t_1\neq t_0 a razão à direita pode ser diferente, logo a curva solução muda. Assim, as linhas de corrente são funções do tempo quando o escoamento é transiente: em cada instante pode existir um mapa diferente de streamlines. Conclusão: (d) é correta.

Passo 8

Resumo final das justificativas rápidas, em linguagem direta e amiga:
  • (a) correta porque, num ponto onde a velocidade não é nula, só existe uma direção possível para o vetor velocidade; duas streamlines não podem ter direções diferentes simultaneamente no mesmo ponto (exceção técnica: pontos de estagnação).
  • (b) correta porque a definição de linha de corrente é justamente ser tangente ao vetor velocidade naquele instante — portanto ela indica a direção instantânea da velocidade.
  • (c) falsa em geral; streamlines são linhas instantâneas do campo de velocidade, enquanto o caminho real de uma partícula (pathline) integra o campo ao longo do tempo; só coincidem em escoamento estacionário.
  • (d) correta porque, se \mathbf{v} varia com o tempo (escolamento transiente), as streamlines avaliadas em instantes diferentes podem (e geralmente vão) ser diferentes.

Resposta

(a), (b) e (d)

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