Assinale a(s) resposta(s) correta(s); justifique:
As linhas de corrente:
a) não se podem cortar;
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos;
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula;
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo.
Resposta: (a), (b) e (d)
As linhas de corrente:
a) não se podem cortar;
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos;
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula;
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo.
Passo 1
O que o enunciado pede: identificar quais das afirmativas sobre linhas de corrente (streamlines) são corretas e justificar cada escolha.
As afirmativas dadas:
a) não se podem cortar;
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos;
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula;
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo.
a) não se podem cortar;
b) indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos;
c) descrevem o caminho percorrido pela partícula;
d) se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo.
Informações relevantes implícitas no enunciado: fala-se de linhas de corrente em um campo de velocidade
de um escoamento (pode ser estacionário ou transiente). O pedido é apenas marcar as alternativas corretas e justificar.
Passo 2
Definição precisa e ferramenta matemática que vamos usar.
Uma linha de corrente (streamline) num instante fixo é uma curva no espaço tal que, em cada ponto da curva, o vetor tangente à curva é paralelo ao vetor velocidade naquele ponto e naquele instante. Em notação, se a curva for parametrizada por
(onde
é um parâmetro ao longo da curva), a condição de streamline em
é
Uma linha de corrente (streamline) num instante fixo
Em coordenadas cartesianas bidimensionais, se
, a equação diferencial que define a streamline no tempo
é
desde que
localmente. Esta é a ferramenta que usamos para relacionar geometricamente as linhas e o campo de velocidade.
Passo 3
Justificando a afirmativa (b): “indicam a direção da velocidade da partícula em diversos pontos”.
Pela definição acima, o vetor tangente à linha de corrente em cada ponto é paralelo ao vetor velocidade naquele ponto e no instante fixo . Isso significa exatamente que a linha de corrente mostra a direção instantânea da velocidade em cada ponto. Em linguagem de prova curta: se a curva
é tal que
com
, então o sentido tangente da curva coincide com o sentido do vetor velocidade. Conclusão: a afirmativa (b) é correta. (Observação prática: streamlines dão direção, não necessariamente o módulo da velocidade.)
Pela definição acima, o vetor tangente à linha de corrente em cada ponto é paralelo ao vetor velocidade naquele ponto e no instante fixo
Passo 4
Justificando a afirmativa (a): “não se podem cortar”.
Suponha, por contradição, que duas linhas de corrente distintas se cruzem em um ponto no mesmo instante
. Cada linha de corrente tem, em
, um vetor tangente. Se as duas linhas forem distintas, esses vetores tangentes em
teriam direções diferentes. Mas pela definição de linha de corrente o vetor velocidade
deve ser paralelo ao tangente de cada linha em
. Logo a velocidade teria de ter duas direções diferentes ao mesmo tempo no mesmo ponto — impossível para um campo de velocidade bem definido, salvo casos degenerados. A única exceção teórica é quando
(ponto de estagnação): aí o vetor velocidade é nulo e a condição de tangência fica indeterminada, então várias curvas podem passar por
. Portanto, excetuando pontos de estagnação, linhas de corrente não se cortam. Como geralmente a afirmação visa esse princípio físico, (a) é considerada correta (com a ressalva técnica do ponto de estagnação).
Suponha, por contradição, que duas linhas de corrente distintas se cruzem em um ponto
Passo 5
Justificando por que (c) é falsa: “descrevem o caminho percorrido pela partícula”.
O caminho real que uma partícula fluidal percorre no tempo é chamado de linha de trajetória (pathline). Se uma partícula tem posição e está sujeita ao campo de velocidade
, sua trajetória satisfaz o sistema de equações diferenciais ordinárias
O caminho real que uma partícula fluidal percorre no tempo é chamado de linha de trajetória (pathline). Se uma partícula tem posição
com condição inicial
. Esse objeto (a pathline) depende da evolução temporal do campo de velocidade. Já a streamline foi definida para um instante fixo
e obedece à equação com
fixo. Em geral, se o escoamento é não estacionário (transiente), as linhas de trajetória e as linhas de corrente não coincidem. Apenas em escoamentos estacionários (quando
não depende do tempo:
) as streamlines e pathlines coincidem — aí a streamline traçada é também o caminho percorrido por qualquer partícula que passe por ela. Portanto (c) é falsa em geral; é verdadeira apenas no caso especial de escoamento estacionário. Para ver concretamente que são diferentes em geral, veja o exemplo simples no próximo passo.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia (didático e simples). Considere um escoamento unidimensional no eixo
com velocidade dependente do tempo:
(constante
),
.
- Streamlines no instante
: a razão indica linhas horizontais (no plano ) naquele instante. - Pathline de uma partícula inicial em
: integra-se dando . A trajetória é uma parábola no espaço-tempo, claramente diferente das linhas horizontais obtidas como streamline em qualquer instante. Isso mostra que streamlines não descrevem, em geral, o caminho percorrido pela partícula quando o escoamento é transiente.
Passo 7
Justificando a afirmativa (d): “se o escoamento é transiente, são variáveis no tempo”.
Se o campo de velocidade depende explicitamente do tempo, , então a equação que define a streamline contém esse tempo como parâmetro:
Se o campo de velocidade depende explicitamente do tempo,
Para outro instante
a razão à direita pode ser diferente, logo a curva solução muda. Assim, as linhas de corrente são funções do tempo quando o escoamento é transiente: em cada instante pode existir um mapa diferente de streamlines. Conclusão: (d) é correta.
Passo 8
Resumo final das justificativas rápidas, em linguagem direta e amiga:
- (a) correta porque, num ponto onde a velocidade não é nula, só existe uma direção possível para o vetor velocidade; duas streamlines não podem ter direções diferentes simultaneamente no mesmo ponto (exceção técnica: pontos de estagnação).
- (b) correta porque a definição de linha de corrente é justamente ser tangente ao vetor velocidade naquele instante — portanto ela indica a direção instantânea da velocidade.
- (c) falsa em geral; streamlines são linhas instantâneas do campo de velocidade, enquanto o caminho real de uma partícula (pathline) integra o campo ao longo do tempo; só coincidem em escoamento estacionário.
- (d) correta porque, se
varia com o tempo (escolamento transiente), as streamlines avaliadas em instantes diferentes podem (e geralmente vão) ser diferentes.
Resposta
(a), (b) e (d)