Dado o campo de velocidades:
\vec{V}=\left(6+2 x y+t^{2}\right) \cdot \vec{\imath}+\left(x y^{2}+10 t\right) \cdot \vec{\jmath}-25 \cdot \vec{k}
qual é a aceleração do fluido no ponto (3,0,2) e no instante \mathrm{t}=1 ?
Resposta:
\vec{a}=(2,10,0)

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades
\vec{V}=\left(6+2 x y+t^{2}\right)\,\vec{\imath}+\left(x y^{2}+10 t\right)\,\vec{\jmath}-25\,\vec{k}
e pede a aceleração do fluido no ponto (3,0,2) e no instante t=1. Informações relevantes:
  • Coordenadas do ponto: (x,y,z)=(3,0,2).
  • Instante: t=1.
  • O que se deseja: \vec{a} (aceleração do fluido) naquele ponto e instante.

Passo 2

Para um campo de velocidades \vec{V}(x,y,z,t) a aceleração material (aceleração de uma partícula fluidal) é dada por
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a derivada parcial no tempo (variação local do campo de velocidade no ponto fixo).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo, que representa a variação de velocidade devido ao deslocamento do fluido por regiões onde \vec{V} muda no espaço.
  • O operador \nabla é \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z). O produto \vec{V}\cdot\nabla age como V_x\partial_x+V_y\partial_y+V_z\partial_z.

Passo 3

Escrevemos as componentes do campo:
V_x=6+2xy+t^{2},\qquad V_y=xy^{2}+10t,\qquad V_z=-25.
Calculamos as derivadas parciais no tempo de cada componente:
\frac{\partial V_x}{\partial t}=2t,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial t}=10,\qquad \frac{\partial V_z}{\partial t}=0.
Avaliar em t=1:
\left.\frac{\partial V_x}{\partial t}\right|_{t=1}=2,\qquad \left.\frac{\partial V_y}{\partial t}\right|_{t=1}=10,\qquad \left.\frac{\partial V_z}{\partial t}\right|_{t=1}=0.

Passo 4

Agora precisamos das derivadas parciais espaciais que entram no termo convectivo. Calculamos:
\partial_x V_x=2y,\qquad \partial_y V_x=2x,\qquad \partial_z V_x=0,
\partial_x V_y=y^{2},\qquad \partial_y V_y=2xy,\qquad \partial_z V_y=0,
\partial_x V_z=0,\qquad \partial_y V_z=0,\qquad \partial_z V_z=0.

Passo 5

Avaliar o vetor velocidade \vec{V} no ponto (x,y,z)=(3,0,2) e em t=1:
V_x(3,0,2,1)=6+2\cdot3\cdot0+1^{2}=6+0+1=7,
V_y(3,0,2,1)=3\cdot0^{2}+10\cdot1=0+10=10,
V_z(3,0,2,1)=-25.
Logo \vec{V}=(7,10,-25) naquele ponto e instante.

Passo 6

Calculamos o termo convectivo componente a componente:
  • Componente x:
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_x =V_x\partial_x V_x+V_y\partial_y V_x+V_z\partial_z V_x.
Substituindo valores (usando \partial_x V_x=2y=0 e \partial_y V_x=2x=6 no ponto):
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_x=7\cdot0+10\cdot6+(-25)\cdot0=60.
  • Componente y:
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_y =V_x\partial_x V_y+V_y\partial_y V_y+V_z\partial_z V_y.
Usando \partial_x V_y=y^{2}=0 e \partial_y V_y=2xy=0 no ponto:
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_y=7\cdot0+10\cdot0+(-25)\cdot0=0.
  • Componente z:
\big[(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big]_z=0
pois todas as derivadas de V_z são zero.
Portanto o termo convectivo no ponto é (60,0,0).

Passo 7

Somamos a derivada parcial no tempo (Passo 3) com o termo convectivo (Passo 6) para obter a aceleração total:
\vec{a}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} =(2,10,0)+(60,0,0)=(62,10,0).
Comentário amigo: a resposta que você colocou (2,10,0) corresponde apenas à derivada parcial no tempo; faltou incluir a contribuição convectiva que adiciona 60 à componente x.

Resposta

\vec{a}=(62,10,0)

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