Dado o campo de velocidades:
qual é a aceleração do fluido no ponto (
)?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades e pede a aceleração do fluido no ponto
.
Informações fornecidas:
- Campo de velocidades:
- Ponto onde avaliar:
. - Pergunta: calcular a aceleração do fluido nesse ponto.
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar): a aceleração de uma partícula fluida na descrição Euleriana é o derivado material da velocidade, isto é
Explicando os símbolos:
-
é a derivada material (derivada ao longo da trajetória de uma partícula de fluido). -
é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo (variação local em um ponto fixo). -
é o operador gradiente: . -
é o termo convectivo (variação advectiva da velocidade devido ao próprio movimento do fluido).
Observação útil para este problema: o campo dado não depende explicitamente do tempo
. Portanto
e sobra apenas o termo convectivo:
Passo 3
Escrever as componentes do campo de velocidades (para ficar claro):
Aqui
é a componente na direção
,
na direção
e
na direção
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais necessárias (a matriz jacobiana
):
Expliquei: por exemplo
;
, etc.]
Passo 5
Agora escrevemos o termo convectivo componente a componente:
Substituindo as derivadas e as componentes
:
Agora substitui-se
,
,
para escrever explicitamente:
Passo 6
Avaliar cada componente no ponto
. Primeiro as componentes da velocidade no ponto (útil para saber sinais, se precisarmos):
Agora avaliar as componentes do termo convectivo usando as expressões do passo anterior:
Lembrando que
, a aceleração é exatamente esse vetor convectivo avaliado no ponto.]
Passo 7
Portanto a aceleração do fluido no ponto
é
Boa — é isso! Você conseguiu ver todas as etapas: identificar a fórmula (derivada material), notar que o campo é estacionário, calcular as derivadas parciais e avaliar no ponto. Pequeno truque para a prova: sempre calcule primeiro as componentes da velocidade no ponto (às vezes simplifica termos convectivos).