Dado o campo de velocidades:
\vec{V}=4 x \vec{\imath}+y^{2} \cdot \vec{\jmath}+\left(2 x y+x^{2}\right) \cdot \vec{k}
qual é a aceleração do fluido no ponto ( 0,1,0 )?
Resposta:
\vec{a}=(0,2,0)

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades e pede a aceleração do fluido no ponto (0,1,0).
Informações fornecidas:
  • Campo de velocidades:
\vec{V}=4 x \,\vec{\imath}+y^{2}\,\vec{\jmath}+\left(2 x y+x^{2}\right)\,\vec{k}.
  • Ponto onde avaliar: \,(x,y,z)=(0,1,0).
  • Pergunta: calcular a aceleração do fluido nesse ponto.

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar): a aceleração de uma partícula fluida na descrição Euleriana é o derivado material da velocidade, isto é
\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Explicando os símbolos:
  • \frac{D}{Dt} é a derivada material (derivada ao longo da trajetória de uma partícula de fluido).
  • \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} é a derivada parcial da velocidade em relação ao tempo (variação local em um ponto fixo).
  • \nabla é o operador gradiente: \nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
  • (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é o termo convectivo (variação advectiva da velocidade devido ao próprio movimento do fluido).
Observação útil para este problema: o campo dado não depende explicitamente do tempo t. Portanto
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\vec{0},
e sobra apenas o termo convectivo:
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.

Passo 3

Escrever as componentes do campo de velocidades (para ficar claro):
V_x=4x,\qquad V_y=y^{2},\qquad V_z=2xy+x^{2}.
Aqui V_x é a componente na direção \vec{\imath}, V_y na direção \vec{\jmath} e V_z na direção \vec{k}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias (a matriz jacobiana \partial V_i/\partial x_j):
\begin{aligned} \partial_x V_x&=4, &\partial_y V_x&=0, &\partial_z V_x&=0,\\[4pt] \partial_x V_y&=0, &\partial_y V_y&=2y, &\partial_z V_y&=0,\\[4pt] \partial_x V_z&=2y+2x, &\partial_y V_z&=2x, &\partial_z V_z&=0. \end{aligned}
Expliquei: por exemplo \partial_y V_y=\dfrac{\partial}{\partial y}(y^2)=2y; \partial_x V_z=\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy+x^2)=2y+2x, etc.]

Passo 5

Agora escrevemos o termo convectivo componente a componente:
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} = \begin{pmatrix} V_x\partial_x V_x+V_y\partial_y V_x+V_z\partial_z V_x\\[4pt] V_x\partial_x V_y+V_y\partial_y V_y+V_z\partial_z V_y\\[4pt] V_x\partial_x V_z+V_y\partial_y V_z+V_z\partial_z V_z \end{pmatrix}.
Substituindo as derivadas e as componentes V_x,V_y,V_z:
\begin{aligned} (\vec{V}\cdot\nabla) V_x &= V_x\cdot 4 + V_y\cdot 0 + V_z\cdot 0 = 4V_x,\\[4pt] (\vec{V}\cdot\nabla) V_y &= V_x\cdot 0 + V_y\cdot(2y) + V_z\cdot 0 = 2y\,V_y,\\[4pt] (\vec{V}\cdot\nabla) V_z &= V_x\cdot(2y+2x) + V_y\cdot(2x) + V_z\cdot 0. \end{aligned}
Agora substitui-se V_x=4x, V_y=y^2, V_z=2xy+x^2 para escrever explicitamente:
\begin{aligned} (\vec{V}\cdot\nabla) V_x &= 4\cdot(4x)=16x,\\[4pt] (\vec{V}\cdot\nabla) V_y &= 2y\cdot(y^2)=2y^{3},\\[4pt] (\vec{V}\cdot\nabla) V_z &= (4x)\cdot(2y+2x) + y^{2}\cdot(2x). \end{aligned}]

Passo 6

Avaliar cada componente no ponto (x,y,z)=(0,1,0). Primeiro as componentes da velocidade no ponto (útil para saber sinais, se precisarmos):
V_x(0,1,0)=4\cdot 0=0,\qquad V_y(0,1,0)=1^{2}=1,\qquad V_z(0,1,0)=2\cdot0\cdot1+0^{2}=0.
Agora avaliar as componentes do termo convectivo usando as expressões do passo anterior:
\begin{aligned} (\vec{V}\cdot\nabla) V_x\big|_{(0,1,0)} &= 16\cdot 0 = 0,\\[4pt] (\vec{V}\cdot\nabla) V_y\big|_{(0,1,0)} &= 2\cdot 1^{3} = 2,\\[4pt] (\vec{V}\cdot\nabla) V_z\big|_{(0,1,0)} &= (4\cdot 0)\cdot(2\cdot1+2\cdot0) + 1^{2}\cdot(2\cdot 0) = 0+0=0. \end{aligned}
Lembrando que \partial \vec{V}/\partial t=\vec{0}, a aceleração é exatamente esse vetor convectivo avaliado no ponto.]

Passo 7

Portanto a aceleração do fluido no ponto (0,1,0) é
\vec{a}=(0,2,0).
Boa — é isso! Você conseguiu ver todas as etapas: identificar a fórmula (derivada material), notar que o campo é estacionário, calcular as derivadas parciais e avaliar no ponto. Pequeno truque para a prova: sempre calcule primeiro as componentes da velocidade no ponto (às vezes simplifica termos convectivos).

Resposta

\vec{a}=(0,2,0)

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