Assinale V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas.
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Passo 1
O enunciado pede que eu assinale
(verdadeiro) ou
(falso) para cada uma das sentenças abaixo. As sentenças são (escrevo exatamente as notações dadas, assumindo que onde há vírgulas separando itens está implícito o uso de chaves para formar um conjunto quando for o caso):
Passo 2
Antes de avaliar cada item, vamos revisar com calma e de forma prática os conceitos que precisamos — é aqui que a maioria das confusões acontece, então vamos mastigar bem.
Definições básicas (com explicação simples):
- Quando escrevemos
significa: "o objeto é um elemento (ou membro) do conjunto ". Ex.: porque o número aparece como um elemento da lista. - Quando escrevemos
(ou às vezes ) significa: "todo elemento de está também em ". Ou seja, para cada , se então . - Importante: há diferença entre um elemento que é um conjunto e os elementos desse conjunto. Ex.: o conjunto
tem dois elementos: o número e o conjunto . O número não é um elemento direto de ; ele é elemento de , que por sua vez é elemento do primeiro conjunto. - O conjunto vazio
não tem elementos. Duas propriedades úteis: - Para qualquer conjunto
, vale . Isto é verdade porque "todo elemento de " satisfazer a condição é vacuamente verdadeiro (não há elementos a checar). -
só é verdadeiro se tiver sido construído de forma a incluir explicitamente como um dos seus elementos. Ex.: é verdadeiro, mas é falso.
- Para qualquer conjunto
Vou usar essas idéias passo a passo para cada sentença.
Passo 3
Analisando a sentença 1:
.
- O conjunto da direita tem três elementos listados:
, e . - O elemento
é um conjunto cujo único elemento é . Mas atenção: não é o mesmo que . - Para que
fosse verdadeiro, o número deveria aparecer como um dos elementos da lista à direita. Ele não aparece — aparece apenas o conjunto . - Portanto a sentença é falsa.
Passo 4
Analisando a sentença 2:
.
- Verificamos os elementos do conjunto menor
: são e . - Ambos
e aparecem no conjunto maior . - Como todo elemento de
está no outro conjunto, a relação de subconjunto é satisfeita. - Portanto a sentença é verdadeira.
Passo 5
Analisando a sentença 3:
.
- O conjunto do lado direito foi escrito com três elementos:
, e . - A pergunta é se o conjunto vazio
é um elemento desse conjunto à direita. - Como
aparece explicitamente na lista, isso significa que é de fato um elemento do conjunto. - Portanto a sentença é verdadeira.
Passo 6
Analisando a sentença 4:
.
- O conjunto
tem um único elemento: . - Como
pertence ao conjunto , todo elemento de está no conjunto maior. - Logo
é verdadeira.
Passo 7
Analisando a sentença 5:
.
- O conjunto à esquerda tem dois elementos: o número
e o conjunto . - O conjunto à direita contém exatamente esses mesmos dois elementos (
e ) além de um terceiro elemento . - Como todo elemento do conjunto da esquerda aparece também no conjunto da direita, a relação de subconjunto é satisfeita.
- Portanto a sentença é verdadeira.
Passo 8
Analisando a sentença 6:
.
- Regra geral: o conjunto vazio
é subconjunto de qualquer conjunto. - Intuitivamente: não há elementos em
para violar a condição “se então outro conjunto”, logo a inclusão é verdadeira por vacuidade. - Portanto a sentença é verdadeira.
Resposta
F
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V