Assinale V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas.
( ) 2 \in\{1,\{2\}, 3\}
( ) \{3,4\} \subset\{1,2,3,4,5\}
() \emptyset \in \emptyset, 1,\{2\}
( ) \{3\} \subset\{1,2,3,4\}
() \{1,\{2\}\} \subset\{1,\{2\}, 3\}
( ) \emptyset \subset \emptyset,\{2\}

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada uma das sentenças abaixo. As sentenças são (escrevo exatamente as notações dadas, assumindo que onde há vírgulas separando itens está implícito o uso de chaves para formar um conjunto quando for o caso):
  1. 2 \in \{1,\{2\}, 3\}
  2. \{3,4\} \subset \{1,2,3,4,5\}
  3. \emptyset \in \{\emptyset, 1,\{2\}\}
  4. \{3\} \subset \{1,2,3,4\}
  5. \{1,\{2\}\} \subset \{1,\{2\}, 3\}
  6. \emptyset \subset \{\emptyset,\{2\}\}

Passo 2

Antes de avaliar cada item, vamos revisar com calma e de forma prática os conceitos que precisamos — é aqui que a maioria das confusões acontece, então vamos mastigar bem.
Definições básicas (com explicação simples):
  • Quando escrevemos a \in A significa: "o objeto a é um elemento (ou membro) do conjunto A". Ex.: 2 \in \{1,2,3\} porque o número 2 aparece como um elemento da lista.
  • Quando escrevemos B \subset A (ou às vezes B \subseteq A) significa: "todo elemento de B está também em A". Ou seja, para cada x, se x \in B então x \in A.
  • Importante: há diferença entre um elemento que é um conjunto e os elementos desse conjunto. Ex.: o conjunto \{1,\{2\}\} tem dois elementos: o número 1 e o conjunto \{2\}. O número 2 não é um elemento direto de \{1,\{2\}\}; ele é elemento de \{2\}, que por sua vez é elemento do primeiro conjunto.
  • O conjunto vazio \emptyset não tem elementos. Duas propriedades úteis:
    • Para qualquer conjunto X, vale \emptyset \subset X. Isto é verdade porque "todo elemento de \emptyset" satisfazer a condição é vacuamente verdadeiro (não há elementos a checar).
    • \emptyset \in X só é verdadeiro se X tiver sido construído de forma a incluir \emptyset explicitamente como um dos seus elementos. Ex.: \emptyset \in \{\emptyset,1\} é verdadeiro, mas \emptyset \in \{1,2\} é falso.
Vou usar essas idéias passo a passo para cada sentença.

Passo 3

Analisando a sentença 1: 2 \in \{1,\{2\}, 3\}.
  • O conjunto da direita tem três elementos listados: 1, \{2\} e 3.
  • O elemento \{2\} é um conjunto cujo único elemento é 2. Mas atenção: \{2\} não é o mesmo que 2.
  • Para que 2 \in \{1,\{2\},3\} fosse verdadeiro, o número 2 deveria aparecer como um dos elementos da lista à direita. Ele não aparece — aparece apenas o conjunto \{2\}.
  • Portanto a sentença é falsa.

Passo 4

Analisando a sentença 2: \{3,4\} \subset \{1,2,3,4,5\}.
  • Verificamos os elementos do conjunto menor \{3,4\}: são 3 e 4.
  • Ambos 3 e 4 aparecem no conjunto maior \{1,2,3,4,5\}.
  • Como todo elemento de \{3,4\} está no outro conjunto, a relação de subconjunto é satisfeita.
  • Portanto a sentença é verdadeira.

Passo 5

Analisando a sentença 3: \emptyset \in \{\emptyset, 1,\{2\}\}.
  • O conjunto do lado direito foi escrito com três elementos: \emptyset, 1 e \{2\}.
  • A pergunta é se o conjunto vazio \emptyset é um elemento desse conjunto à direita.
  • Como \emptyset aparece explicitamente na lista, isso significa que \emptyset é de fato um elemento do conjunto.
  • Portanto a sentença é verdadeira.

Passo 6

Analisando a sentença 4: \{3\} \subset \{1,2,3,4\}.
  • O conjunto \{3\} tem um único elemento: 3.
  • Como 3 pertence ao conjunto \{1,2,3,4\}, todo elemento de \{3\} está no conjunto maior.
  • Logo \{3\} \subset \{1,2,3,4\} é verdadeira.

Passo 7

Analisando a sentença 5: \{1,\{2\}\} \subset \{1,\{2\}, 3\}.
  • O conjunto à esquerda tem dois elementos: o número 1 e o conjunto \{2\}.
  • O conjunto à direita contém exatamente esses mesmos dois elementos ( 1 e \{2\}) além de um terceiro elemento 3.
  • Como todo elemento do conjunto da esquerda aparece também no conjunto da direita, a relação de subconjunto é satisfeita.
  • Portanto a sentença é verdadeira.

Passo 8

Analisando a sentença 6: \emptyset \subset \{\emptyset,\{2\}\}.
  • Regra geral: o conjunto vazio \emptyset é subconjunto de qualquer conjunto.
  • Intuitivamente: não há elementos em \emptyset para violar a condição “se x\in\emptyset então x\in outro conjunto”, logo a inclusão é verdadeira por vacuidade.
  • Portanto a sentença é verdadeira.

Resposta

F
V
V
V
V
V

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