7- Seja
a porção do plano
, acima do disco
. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- A superfície
é a porção do plano definido por
acima do disco
no plano
definido por
Logo o disco tem raio
.
- A função a integrar sobre a superfície é
- O que é pedido: calcular a integral de superfície escalar
Passo 2
Vamos transformar a integral sobre a superfície
numa integral dupla sobre o domínio plano
. Para a superfície dada como gráfico
a fórmula do elemento de área da superfície é
onde
e
, e
é o elemento de área no plano
.
Breve explicação desta fórmula (passo-a-passo didático): parametra-se a superfície por
. Então
e o elemento de área é
. O módulo do produto vetorial dá
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais e o fator
.
-
Temos
e . -
Portanto
Assim a integral sobre
passa a ser a integral dupla sobre
:
Como
não depende de
neste caso, isso fica
Passo 4
Avaliar a integral dupla
.
- Observação sobre os termos
e : o disco é simétrico em relação à origem. A função é ímpar em e a região é simétrica em , logo
Analogamente
. (Se preferir ver por substituição, trocar
por
mostra que a integral muda de sinal e portanto deve ser zero.)
- Portanto
- A área do disco de raio
é . Assim
(Alternativamente, pode-se calcular em coordenadas polares:
. Mesmo resultado.)
Passo 5
Multiplicar pelo fator
que veio do elemento de área da superfície:
Resposta final numérica em termos de
:
.