7- Seja S a porção do plano \pi: z=2 x+3 y+1, acima do disco D=\left\{(x, y) \in R^{2} ; x^{2}+y^{2} \leq 16\right\}. Calcule \iint_{S} f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x+y+2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • A superfície S é a porção do plano \pi definido por
z = 2x + 3y + 1
acima do disco D no plano xy definido por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}\le 16\}.
Logo o disco tem raio 4.
  • A função a integrar sobre a superfície é
f(x,y,z)=x+y+2.
  • O que é pedido: calcular a integral de superfície escalar
\iint_{S} f(x,y,z)\,d s.

Passo 2

Vamos transformar a integral sobre a superfície S numa integral dupla sobre o domínio plano D. Para a superfície dada como gráfico
z=g(x,y)=2x+3y+1,
a fórmula do elemento de área da superfície é
d s=\sqrt{1+g_x^{2}+g_y^{2}}\;dA,
onde g_x=\dfrac{\partial g}{\partial x} e g_y=\dfrac{\partial g}{\partial y}, e dA é o elemento de área no plano xy.
Breve explicação desta fórmula (passo-a-passo didático): parametra-se a superfície por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)). Então
\mathbf{r}_x=(1,0,g_x),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,g_y),
e o elemento de área é |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|\,dA. O módulo do produto vetorial dá \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais e o fator \sqrt{1+g_x^2+g_y^2}.
  • Temos g_x=2 e g_y=3.
  • Portanto
\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}=\sqrt{1+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
Assim a integral sobre S passa a ser a integral dupla sobre D:
\iint_{S} f\,d s=\iint_{D} f\big(x,y,g(x,y)\big)\,\sqrt{14}\;dA.
Como f(x,y,z)=x+y+2 não depende de z neste caso, isso fica
\iint_{S} f\,d s=\sqrt{14}\iint_{D} (x+y+2)\;dA.

Passo 4

Avaliar a integral dupla \iint_{D} (x+y+2)\,dA.
  • Observação sobre os termos \iint_{D} x\,dA e \iint_{D} y\,dA: o disco D é simétrico em relação à origem. A função x é ímpar em x e a região é simétrica em x, logo
\iint_{D} x\,dA=0.
Analogamente \iint_{D} y\,dA=0. (Se preferir ver por substituição, trocar x por -x mostra que a integral muda de sinal e portanto deve ser zero.)
  • Portanto
\iint_{D} (x+y+2)\;dA = \iint_{D} 2\;dA = 2\cdot \text{area}(D).
  • A área do disco de raio 4 é \pi\cdot 4^{2}=16\pi. Assim
\iint_{D} (x+y+2)\;dA = 2\cdot 16\pi = 32\pi.
(Alternativamente, pode-se calcular em coordenadas polares: \iint_{D}2\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}2r\,dr\,d\theta = 2\cdot\pi\cdot 16=32\pi. Mesmo resultado.)

Passo 5

Multiplicar pelo fator \sqrt{14} que veio do elemento de área da superfície:
\iint_{S} f\,d s = \sqrt{14}\cdot 32\pi = 32\pi\sqrt{14}.
Resposta final numérica em termos de \pi: 32\pi\sqrt{14}.

Resposta

32\pi\sqrt{14}

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