Prove que para todos os conjuntos A e B, B-A=B \cap A^{c}.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que, para quaisquer conjuntos \!A\! e \!B\!, vale a igualdade
B - A = B \cap A^{c}.
Informações dadas (simples e diretas):
  • Dois conjuntos arbitrários \!A\! e \!B\!.
  • A operação B-A é a diferença de conjuntos (elementos de \!B\! que não estão em \!A\!).
  • A expressão A^{c} é o complemento de \!A\! (elementos que não estão em \!A\!).
    O que se pede: demonstrar que os dois conjuntos acima são iguais para quaisquer \!A\! e \!B\!.

Passo 2

Plano de prova e definições importantes (mini-aula).
  • Método escolhido: prova por dupla inclusão. Explicação do porquê: duas maneiras comuns de provar igualdade entre conjuntos são (i) mostrar que cada lado está contido no outro (dupla inclusão) ou (ii) usar identidades algébricas de conjuntos já demonstradas. A dupla inclusão é direta e elementar, por isso é a melhor escolha aqui.
  • Definições formais que vamos usar (cada uma é uma equivalência lógica útil):
    • Definição de diferença: x\in B - A \quad\text{se, e só se,}\quad x\in B \land x\notin A.ó
    • Definição de complemento: x\in A^{c} \quad\text{se, e só se,}\quad x\notin A.ó
    • Definição de interseção: x\in B\cap A^{c} \quad\text{se, e só se,}\quad x\in B \land x\in A^{c}.ó
  • Observação lógica útil: a condição \(x\notin A\)'' é exatamente a mesma que x\in A^{c}‘’. Vamos usar isso para transformar as definições e comparar os dois lados.

Passo 3

Provar B - A \subseteq B \cap A^{c}.
  • Comece por um elemento arbitrário do lado esquerdo: seja x tal que x\in B - A.
  • Pelo significado de diferença, temos x\in B - A \quad\Rightarrow\quad x\in B \land x\notin A.
  • Usando a definição de complemento, a condição x\notin A é equivalente a x\in A^{c}. Então x\in B \land x\notin A \quad\Leftrightarrow\quad x\in B \land x\in A^{c}.
  • Pela definição de interseção isso dá x\in B\cap A^{c}.
  • Conclusão deste passo: qualquer x em B-A também pertence a B\cap A^{c}, logo B - A \subseteq B \cap A^{c}.

Passo 4

Provar B \cap A^{c} \subseteq B - A.
  • Tome agora um elemento arbitrário do lado direito: seja x tal que x\in B\cap A^{c}.
  • Pela definição de interseção, x\in B\cap A^{c} \quad\Rightarrow\quad x\in B \land x\in A^{c}.
  • Pela definição de complemento, x\in A^{c} significa x\notin A. Assim x\in B \land x\in A^{c} \quad\Leftrightarrow\quad x\in B \land x\notin A.
  • Pela definição de diferença isso implica x\in B - A.
  • Conclusão deste passo: qualquer x em B\cap A^{c} também pertence a B-A, logo B \cap A^{c} \subseteq B - A.

Passo 5

Conclusão final e interpretação intuitiva.
  • Reunindo os dois preenchimentos acima temos B - A \subseteq B \cap A^{c} \qquad\text{e}\qquad B \cap A^{c} \subseteq B - A.
  • Uma vez que cada conjunto está contido no outro, pelos princípios básicos da teoria de conjuntos segue-se a igualdade: B - A = B \cap A^{c}.
  • Intuição rápida e amigável: B-A é aquilo que fica dentro de B depois de “tirar” tudo que está em A; isso é exatamente a parte de B que está fora de A, ou seja, a interseção de B com "tudo que não é A", que é A^{c}.

Resposta

B - A = B \cap A^{c}

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