Prove que para todos os conjuntos
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se prove que, para quaisquer conjuntos
e
, vale a igualdade
Informações dadas (simples e diretas):
- Dois conjuntos arbitrários
e . - A operação
é a diferença de conjuntos (elementos de que não estão em ). - A expressão
é o complemento de (elementos que não estão em ).
O que se pede: demonstrar que os dois conjuntos acima são iguais para quaisquere .
Passo 2
Plano de prova e definições importantes (mini-aula).
- Método escolhido: prova por dupla inclusão. Explicação do porquê: duas maneiras comuns de provar igualdade entre conjuntos são (i) mostrar que cada lado está contido no outro (dupla inclusão) ou (ii) usar identidades algébricas de conjuntos já demonstradas. A dupla inclusão é direta e elementar, por isso é a melhor escolha aqui.
- Definições formais que vamos usar (cada uma é uma equivalência lógica útil):
- Definição de diferença:
- Definição de complemento:
- Definição de interseção:
- Definição de diferença:
- Observação lógica útil: a condição
\(x\notin A\)'' é exatamente a mesma que‘’. Vamos usar isso para transformar as definições e comparar os dois lados.
Passo 3
Provar
.
- Comece por um elemento arbitrário do lado esquerdo: seja
tal que . - Pelo significado de diferença, temos
- Usando a definição de complemento, a condição
é equivalente a . Então - Pela definição de interseção isso dá
. - Conclusão deste passo: qualquer
em também pertence a , logo
Passo 4
Provar
.
- Tome agora um elemento arbitrário do lado direito: seja
tal que . - Pela definição de interseção,
- Pela definição de complemento,
significa . Assim - Pela definição de diferença isso implica
. - Conclusão deste passo: qualquer
em também pertence a , logo
Passo 5
Conclusão final e interpretação intuitiva.
- Reunindo os dois preenchimentos acima temos
- Uma vez que cada conjunto está contido no outro, pelos princípios básicos da teoria de conjuntos segue-se a igualdade:
- Intuição rápida e amigável:
é aquilo que fica dentro de depois de “tirar” tudo que está em ; isso é exatamente a parte de que está fora de , ou seja, a interseção de com "tudo que não é ", que é .