Sejam A=\{1,2,3\}, B=\{u, v\} e C=\{m, n\}. Liste os elementos do conjunto A \times(B \times C).

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{1,2,3\},\qquad B=\{u,v\},\qquad C=\{m,n\}
e pede que sejam listados todos os elementos do conjunto A\times(B\times C).
Ou seja, preciso escrever todos os elementos da forma (a,(b,c)) com a\in A, b\in B e c\in C.

Passo 2

O que significa A\times(B\times C)? Vou explicar passo a passo, como se fosse um passo a passo na prova.
Definição (explicada com calma): o produto cartesiano X\times Y é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que x\in X e y\in Y. Aqui Y pode ser, por sua vez, um par ordenado. Logo, A\times(B\times C) é o conjunto de todos os pares
\bigl(a,(b,c)\bigr)
com a\in A, b\in B e c\in C. Cada elemento tem o formato "primeiro componente é algo de A" e "segunda componente é um par ordenado de B\times C".
Dica prática para listar: primeiro encontre todos os elementos de B\times C; depois, para cada a\in A, forme os pares \bigl(a,(b,c)\bigr) com todos os (b,c) obtidos.
Também vale contar quantos elementos haverá: |A\times(B\times C)|=|A|\cdot|B\times C|=|A|\cdot|B|\cdot|C|. Aqui |A|=3, |B|=2, |C|=2, então o total será 3\cdot2\cdot2=12 elementos. Isso confirma que, ao listar, devo obter 12 elementos.

Passo 3

Primeiro calcule B\times C. São todos os pares (b,c) com b\in B e c\in C. Listando de forma sistemática (por exemplo, fixando b e variando c):
B\times C=\{(u,m),\\ (u,n),\\ (v,m),\\ (v,n)\}.
Anotei esses quatro elementos porque para cada um dos 2 elementos de B há 2 de C, totalizando 2\cdot2=4.

Passo 4

Agora, para formar A\times(B\times C), pego cada a\in A e emparelho com cada elemento de B\times C. Vou fazer isso de forma organizada, um a por vez.
Para a=1:
(1,(u,m)),\quad (1,(u,n)),\quad (1,(v,m)),\quad (1,(v,n)).
Para a=2:
(2,(u,m)),\quad (2,(u,n)),\quad (2,(v,m)),\quad (2,(v,n)).
Para a=3:
(3,(u,m)),\quad (3,(u,n)),\quad (3,(v,m)),\quad (3,(v,n)).
Isso são 4 pares para cada a, e como há 3 valores de a, totalizam-se 3\cdot4=12 pares, como antecipado.

Passo 5

Organizando tudo como um único conjunto (colocarei a resposta final apenas na seção de resposta, como pedido). Os elementos já enumerados acima formam exatamente A\times(B\times C).

Resposta

A\times(B\times C)=\{(1,(u,m)),\\ (1,(u,n)),\\ (1,(v,m)),\\ (1,(v,n)),\\ (2,(u,m)),\\ (2,(u,n)),\\ (2,(v,m)),\\ (2,(v,n)),\\ (3,(u,m)),\\ (3,(u,n)),\\ (3,(v,m)),\\ (3,(v,n))\}

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