Assinale as soluções de
x^2 d^2 yd x^2+5 x d yd x=ln (x^2), x>0
y=-ln x4+(ln x)^22+c1 x+c2x^3, x>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função proposta é solução da equação de Euler–Cauchy
Conteúdo: equação diferencial de 2º ordem do tipo x²y’’+5x y’=ln(x²). Vamos precisar calcular y’ e y’’ da solução tentativa e substituir na equação.

Passo 2

Calculamos as derivadas de
y=-ln x4+(ln x)^22+c1x+c2x^3
Derivando em relação a x:
y'=ln xx-14x+c1-3c2x^4
E novamente:
y''=1-ln xx^2+14x^2+12c2x^5=5/4-ln xx^2+12c2x^5

Passo 3

Substituindo na equação:
x^2y''+5x y'=l(5/4-ln x+tfrac12c2x^3r)+l(5ln x-5/4+5c1x-tfrac15c2x^3r)=4ln x+5c1x-tfrac3c2x^3
Como a parte não homogênea é ln(x^2)=2ln x, vemos que x^2y''+5xy'neq2ln x para constantes arbitrárias c1,c2. Logo, a função proposta não satisfaz a equação.

Passo 4

Portanto, a expressão dada não é solução da EDO.

Resposta

A função proposta não satisfaz a equação diferencial dada e, portanto, não é solução.

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