Calcule:
d Fd t e d^2 Fd t^2 da curva F(t)=(3 t^2, e^-2 t, ln (3 t^2+1)).

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas primeira e segunda de uma função vetor. O conteúdo envolve derivação componente a componente, usando regra de potência, exponencial, logaritmo (regra da cadeia) e regra do quociente.

Passo 2

Para obter F'(t), diferenciamos cada componente de F(t)=(3t^2, e^-2t, ln(3t^2+1)):
  • dfracddt(3t^2)=6t (regra de potência).
  • dfracddt(e^-2t)=-2e^-2t (regra da cadeia no exponencial).
  • dfracddt[ln(3t^2+1)]=dfrac13t^2+1cdotdfracddt(3t^2+1)=dfrac6t3t^2+1 (regra da cadeia no logaritmo).

Passo 3

Assim, em forma de vetor, temos:
F'(t)=(6t, -2e^-2t, 6t3t^2+1)

Passo 4

Para obter F''(t), diferenciamos cada componente de F'(t):
  • dfracddt(6t)=6.
  • dfracddt(-2e^-2t)=-2cdot(-2)e^-2t=4e^-2t.
  • dfracddtl(6t3t^2+1r) usa regra do quociente: se u=6t e v=3t^2+1, então
ddtl(uvr)=u'v - u v'v^2=6(3t^2+1)-6tcdot6t(3t^2+1)^2

Passo 5

Simplificando o numerador: 18t^2+6-36t^2=6-18t^2=6(1-3t^2). Logo o terceiro componente de F''(t) fica
6(1-3t^2)(3t^2+1)^2

Passo 6

Portanto, a derivada segunda é
F''(t)=(6, 4e^-2t, 6(1-3t^2)(3t^2+1)^2)

Resposta

F'(t)=(6t,,-2e^-2t,,6t3t^2+1) e F''(t)=(6,,4e^-2t,,6(1-3t^2)(3t^2+1)^2).

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