Determine os valores extremos da função
f(x, y)=e^y restrito a x^2+y-12 <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos (máximos e mínimos) de f(x,y)=e^{y} sujeita à restrição x^{2}+y-12\le 0. O conteúdo é otimização de funções de duas variáveis com restrição de desigualdade; vamos usar a monotonicidade de e^{y} e analisar o conjunto definido por x^{2}+y\le12.

Passo 2

Repare que f(x,y)=e^{y} depende só de y e é estritamente crescente em y, pois d/dy,e{y}=e{y}>0. Assim, para maximizar f basta maximizar y sobre o domínio. A restrição implica y\le12 - x^{2}, cujo valor máximo ocorre quando x^{2} é mínimo. Como x\in\mathbb{R}, x^{2}\ge0 e a igualdade x^{2}=0 ocorre em x=0, dando y=12.

Passo 3

Portanto o máximo de y é 12 em (x,y)=(0,12). O valor máximo de f é f(0,12)=e^{12}.

Passo 4

Para o mínimo, note que não há limite inferior para y (podemos escolher x grande e y\to-\infty mantendo x^{2}+y-12=0, ou permitir y arbitrariamente negativo no interior). Logo f=e^{y}\to0 quando y\to-\infty, mas nunca atinge 0. Assim não existe mínimo global, apenas infimum 0.

Resposta

Máximo global em (0,12) com valor f(0,12)=e^{12}. Não há mínimo global; infimum f\to0 quando y\to-\infty.

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