Calcule a integral integral1^2((raiz[4]x-1)^2x-sen x3+e^x5) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função (raiz[4]x-1)^2x - sin x3 + e^x5. Vamos precisar usar técnicas de integração como simplificação de expressões algébricas, regras básicas de integração e propriedades das funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte algébrica da integral: (raiz[4]x-1)^2x. Para isso, vamos expandir o quadrado:
(raiz[4]x - 1)^2 = (raiz[4]x)^2 - 2 cdot raiz[4]x cdot 1 + 1^2 = raizx - 2raiz[4]x + 1

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na integral:
integral1^2 ( raizx - 2raiz[4]x + 1x - sin x3 + e^x5 ) dx
Vamos dividir isso em partes mais simples. Observamos que raizx = x^1/2 e raiz[4]x = x^1/4. Substituindo:
raizxx = x^-1/2, -2raiz[4]xx = -2x^-3/4, 1x = x^-1
Portanto, a integral fica:
integral1^2 ( x^-1/2 - 2x^-3/4 + x^-1 - sin x3 + e^x5 ) dx

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em termos individuais:
integral1^2 x^-1/2 dx - 2 integral1^2 x^-3/4 dx + integral1^2 x^-1 dx - 13 integral1^2 sin x , dx + 15 integral1^2 e^x dx

Passo 5

Vamos resolver cada integral uma por uma.
Primeira Integral:
integral x^-1/2 dx = integral 1raizx dx
Usamos a regra de potência para integrais:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, n neq -1
Aqui, n = -1/2, então:
x^(-1/2)+1(-1/2)+1 = x^1/21/2 = 2raizx
Segunda Integral:
-2 integral x^-3/4 dx = -2 cdot x^(-3/4)+1(-3/4)+1 = -2 cdot x^1/41/4 = -8x^1/4 = -8raiz[4]x
Terceira Integral:
integral x^-1 dx = integral 1x dx = ln|x|
Quarta Integral:
-13 integral sin x , dx = -13 (-cos x) = 13 cos x
Quinta Integral:
15 integral e^x dx = 15 e^x

Passo 6

Agora, substituímos os limites de integração de 1 a 2 em cada resultado.
Primeira Parte:
2raizx |1^2 = 2raiz2 - 2raiz1 = 2raiz2 - 2
Segunda Parte:
-8raiz[4]x |1^2 = -8raiz[4]2 + 8raiz[4]1 = -8raiz[4]2 + 8
Terceira Parte:
ln|x| |1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2 - 0 = ln 2
Quarta Parte:
13 cos x |1^2 = 13 (cos 2 - cos 1)
Quinta Parte:
15 e^x |1^2 = 15 (e^2 - e^1) = 15 (e^2 - e)

Passo 7

Finalmente, somamos todos os resultados:
2raiz2 - 2 - 8raiz[4]2 + 8 + ln 2 + 13 (cos 2 - cos 1) + 15 (e^2 - e)
Simplificando os termos constantes:
(2raiz2 - 2 + 8) - 8raiz[4]2 + ln 2 + 13 (cos 2 - cos 1) + 15 (e^2 - e)
2raiz2 + 6 - 8raiz[4]2 + ln 2 + 13 (cos 2 - cos 1) + 15 (e^2 - e)

Resposta

2raiz2 + 6 - 8raiz[4]2 + ln 2 + 13 (cos 2 - cos 1) + 15 (e^2 - e)

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