Assinale as soluções de
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para achar as soluções da equação
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de equações lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo do lado direito. A equação homogênea fica:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que geralmente tem soluções do tipo
.
Passo 3
Vamos supor que a solução da equação homogênea seja
. Então, as derivadas são:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, devemos ter:
As soluções são
e
.
Passo 4
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos supor que a solução particular tenha a forma
, onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso resulta em:
Comparando os coeficientes, temos:
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: