Assinale as soluções de
x^2 d^2 yd x^2+5 x d yd x=ln (x^2), x>0
y=-ln x8+(ln x)^24+c1 x+c2x^3, x>0

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para achar as soluções da equação
x^2 d^2 yd x^2 + 5x d yd x = ln (x^2), x>0
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de equações lineares, encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem o termo do lado direito. A equação homogênea fica:
x^2 y'' + 5x y' = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por x^2:
y'' + 5x y' = 0
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que geralmente tem soluções do tipo y = x^m.

Passo 3

Vamos supor que a solução da equação homogênea seja y = x^m. Então, as derivadas são:
y' = m x^m-1, y'' = m (m-1) x^m-2
Substituindo na equação homogênea:
m (m-1) x^m-2 + 5x cdot m x^m-1 = 0
Simplificando:
m (m-1) x^m-2 + 5m x^m-2 = 0,
m [ (m - 1) + 5 ] x^m-2 = 0,
m (m + 4) x^m-2 = 0
Para que isso seja válido para todo x > 0, devemos ter:
m (m + 4) = 0
As soluções são m = 0 e m = -4.

Passo 4

Então, as soluções da equação homogênea são:
yh = c1 x^0 + c2 x^-4 = c1 + c2x^4,
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.
Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
x^2 y'' + 5x y' = ln (x^2)
Vamos supor que a solução particular tenha a forma yp = A (ln x)^2 + B ln x, onde A e B são constantes a serem determinadas.

Passo 5

Calculando as derivadas de yp:
yp' = 2A ln xx + Bx,
yp'' = 2Ax^2 - 2A ln xx^2 - Bx^2
Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original:
x^2 ( 2Ax^2 - 2A ln xx^2 - Bx^2 ) + 5x ( 2A ln xx + Bx ) = ln (x^2)
Simplificando:
2A - 2A ln x - B + 10A ln x + 5B = ln x^2
Agrupando termos semelhantes:
(2A - B + 5B) + (-2A + 10A) ln x = 2 ln x
Isso resulta em:
2A + 4B + 8A ln x = 2 ln x
Comparando os coeficientes, temos:
8A = 2 implies A = 14,
2A + 4B = 0 implies 2(14) + 4B = 0 implies 12 + 4B = 0 implies B = -18

Passo 6

Substituindo A e B na expressão de yp:
yp = 14 (ln x)^2 - 18 ln x
Portanto, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y = yh + yp = c1 + c2x^4 + 14 (ln x)^2 - 18 ln x

Resposta

y = -ln x8 + (ln x)^24 + c1 + c2x^4, x>0

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