Assinale as soluções de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para achar as soluções da equação
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é igual a zero:
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
No nosso caso, $ a = 5 $ e $ b = 0 $.
Passo 3
Para resolver a equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo $ y = x^{m} $. Vamos substituir essa forma na equação homogênea:
Primeiro, encontramos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 4
Para que essa equação seja satisfeita para $ x > 0 $, o termo dentro do colchete deve ser zero:
Isso nos dá as raízes:
Passo 5
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação não homogênea:
Observamos que o lado direito é $ \ln(x^{2}) $, que pode ser simplificado para $ 2 \ln x $. Portanto, nossa equação fica:
Passo 7
Para encontrar $ y_p $, vamos supor uma solução da forma:
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas.
Passo 8
Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação não homogênea:
Simplificando:
Distribuindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos termos constantes e dos termos com $ \ln x $:
Para os termos constantes:
Para os termos com $ \ln x $:
Substituindo $ B = \frac{1}{4} $ na primeira equação:
Passo 11
Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes arbitrárias.