Assinale as soluções de
x^2 d^2 yd x^2+5 x d yd x=ln (x^2), x>0
y=-ln x8+(ln x)^24+c1+c2x^4, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão pede para achar as soluções da equação
x^2 d^2 yd x^2 + 5x d yd x = ln (x^2), x>0
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é igual a zero:
x^2 d^2 yd x^2 + 5x d yd x = 0
Essa é uma equação diferencial de Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
x^2 y'' + a x y' + b y = 0
No nosso caso, $ a = 5 $ e $ b = 0 $.

Passo 3

Para resolver a equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo $ y = x^{m} $. Vamos substituir essa forma na equação homogênea:
Primeiro, encontramos as derivadas:
y = x^m
y' = m x^m-1,
Substituindo na equação:
y'' = m (m-1) x^m-2
Simplificando:
x^2 cdot m (m-1) x^m-2 + 5x cdot m x^m-1 = 0
m (m-1) x^m + 5m x^m = 0,
m [ (m - 1) + 5 ] x^m = 0,

Passo 4

Para que essa equação seja satisfeita para $ x > 0 $, o termo dentro do colchete deve ser zero:
x > 0
Isso nos dá as raízes:
m (m + 4) = 0

Passo 5

Portanto, as soluções da equação homogênea são:
yh = c1 x^0 + c2 x^-4 = c1 + c2x^4,
onde $ c_1 $ e $ c_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ da equação não homogênea:
yp
Observamos que o lado direito é $ \ln(x^{2}) $, que pode ser simplificado para $ 2 \ln x $. Portanto, nossa equação fica:
x^2 y'' + 5x y' = ln(x^2)

Passo 7

Para encontrar $ y_p $, vamos supor uma solução da forma:
yp
onde $ A $ e $ B $ são constantes a serem determinadas.

Passo 8

Calculamos as derivadas de $ y_p $:
Primeira derivada:
yp
Segunda derivada:
yp' = Ax + 2B ln xx,

Passo 9

Substituímos $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação não homogênea:
yp
Simplificando:
yp'
Distribuindo:
yp''
Agrupando termos semelhantes:
x^2 ( -Ax^2 + 2Bx^2 - 2B ln xx^2 ) + 5x ( Ax + 2B ln xx ) = 2 ln x
(-A + 2B - 2B ln x) + 5(A + 2B ln x) = 2 ln x

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos termos constantes e dos termos com $ \ln x $:
Para os termos constantes:
ln x
Para os termos com $ \ln x $:
4A + 2B = 0
Substituindo $ B = \frac{1}{4} $ na primeira equação:
ln x
8B = 2 implies B = 28 = 14

Passo 11

Com os valores de $ A $ e $ B $ encontrados, a solução particular é:
A

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = c1 + c2x^4 - ln x8 + (ln x)^24, x>0

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = -ln x8 + (ln x)^24 + c1 + c2x^4, x>0,
onde $ c_{1} $ e $ c_{2} $ são constantes arbitrárias.

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