Seja
uma função que satisfaz
e
.
Se
, encontre
.
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que satisfaz a equação diferencial $ f^{\prime}(x) = \sqrt{f(x)^{2} + x^{2}} $ e sabemos que $ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\pi $. Além disso, foi definida uma nova função $ g(x) = \sin(f(x)) $, e queremos encontrar a derivada dessa função $ g $ no ponto $ x = \frac{3\pi}{2} $.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. Também iremos aplicar o conhecimento sobre derivadas de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ g(x) = \sin(f(x)) $ usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, derivamos a função externa, que é o seno, resultando em cosseno, e multiplicamos pela derivada da função interna $ f(x) $.
Passo 3
Sabemos que queremos encontrar $ g^{\prime}\left(\frac{3\pi}{2}\right) $. Para isso, precisamos avaliar $ \cos(f(x)) $ e $ f^{\prime}(x) $ no ponto $ x = \frac{3\pi}{2} $.
Primeiro, vamos encontrar $ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) $, que já é dado na questão:
Então, podemos calcular $ \cos(f(x)) $ nesse ponto:
Sabemos que $ \cos(2\pi) = 1 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f^{\prime}\left(\frac{3\pi}{2}\right) $. A equação diferencial que $ f $ satisfaz é:
Substituindo $ x = \frac{3\pi}{2} $ e $ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\pi $:
Passo 5
Agora que temos $ \cos(f(x)) = 1 $ e $ f^{\prime}(x) = \frac{5\pi}{2} $ no ponto $ x = \frac{3\pi}{2} $, podemos substituir esses valores na expressão da derivada de $ g(x) $: