Seja f uma função que satisfaz f^prime(x)=raizf(x)^2+x^2 e f(3 pi2)=2 pi.
Se g(x)=sen(f(x)), encontre g^prime(3 pi2).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que satisfaz a equação diferencial $ f^{\prime}(x) = \sqrt{f(x)^{2} + x^{2}} $ e sabemos que $ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\pi $. Além disso, foi definida uma nova função $ g(x) = \sin(f(x)) $, e queremos encontrar a derivada dessa função $ g $ no ponto $ x = \frac{3\pi}{2} $.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. Também iremos aplicar o conhecimento sobre derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ g(x) = \sin(f(x)) $ usando a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que:
g(x) = sin(f(x))
Aqui, derivamos a função externa, que é o seno, resultando em cosseno, e multiplicamos pela derivada da função interna $ f(x) $.

Passo 3

Sabemos que queremos encontrar $ g^{\prime}\left(\frac{3\pi}{2}\right) $. Para isso, precisamos avaliar $ \cos(f(x)) $ e $ f^{\prime}(x) $ no ponto $ x = \frac{3\pi}{2} $.
Primeiro, vamos encontrar $ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) $, que já é dado na questão:
g^prime(3pi2)
Então, podemos calcular $ \cos(f(x)) $ nesse ponto:
cos(f(x))
Sabemos que $ \cos(2\pi) = 1 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ f^{\prime}\left(\frac{3\pi}{2}\right) $. A equação diferencial que $ f $ satisfaz é:
f^prime(3pi2)
Substituindo $ x = \frac{3\pi}{2} $ e $ f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 2\pi $:
f

Passo 5

Agora que temos $ \cos(f(x)) = 1 $ e $ f^{\prime}(x) = \frac{5\pi}{2} $ no ponto $ x = \frac{3\pi}{2} $, podemos substituir esses valores na expressão da derivada de $ g(x) $:
cos(f(x)) = 1

Resposta

g^prime(3pi2) = 5pi2

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