Assinale todas as alternativas verdadeiras sobre o único ponto crítico de g(x, y)=x y+2 x-ln (x^2 y) :
Ele está no terceiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o único ponto crítico da função g(x,y)=xy+2x-ln(x^2y) está no terceiro quadrante. O conteúdo envolve otimização de funções de duas variáveis: cálculo de derivadas parciais e solução do sistema ∂g/∂x=0,∂g/∂y=0.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de g:
partial gpartial x=y+2-2x,
partial gpartial y=x-1y
Igualando-as a zero, obtemos o sistema:
y+2-2x=0,
x-1y=0
Da segunda equação temos x=1/y. Substituindo na primeira:
y+2-2y=0implies -y+2=0implies y=2
Logo x=1/y=1/2.

Passo 3

No ponto crítico l(tfrac12,2r) temos x>0 e y>0, ou seja, ele está no primeiro quadrante. Portanto, a afirmação de que ele está no terceiro quadrante é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa.

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