Conisdere a função f(x)=raizr^2-x^2, onde r é uma constante positiva. Seja R a região delimitada pela curva y=f(x) e o eixo x. O objetivo deste exercício é calcular a área de R.
b) Faça a mudança de variável x=r sin (theta) e descreva a integral em função de theta.

Passo 1

Temos a função f(x)=raizr^2 - x^2, onde r>0. Queremos a área da região R sob a curva y=f(x) e acima do eixo x de x=-r a x=r. O conteúdo principal é cálculo de integrais definidas e vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

A área de R é dada pela integral definida
integral-r^r raizr^2 - x^2,dx

Passo 3

Fazemos a mudança de variável x = rsin(theta). Então
dx = rcos(theta),dtheta
e
raizr^2 - x^2 = raizr^2 - r^2sin^2(theta) = rcos(theta)

Passo 4

Agora, ao variar x de -r até r, temos sin(theta)=-1 em x=-r e sin(theta)=1 em x=r. Logo
theta vai de -tfracpi2 até tfracpi2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral-r^rraizr^2 - x^2,dx = integral-pi2^pi2 l(rcos(theta)r)l(rcos(theta)r),dtheta = integral-pi2^pi2 r^2cos^2(theta),dtheta

Resposta

integral-pi2^pi2 r^2cos^2(theta),dtheta

Exercícios relacionados