Determine as equaçöes cartesianas das curvas abaixo dadas em coordenadas polares e faça um aboço.
C: r=sen 3 theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a equação polar $ C: r = \sin 3\theta $ em equações cartesianas e fazer um esboço da curva. Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e cartesianas, além de entender como converter de uma forma para outra. Vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas de conversão entre coordenadas polares (r, theta) e cartesianas (x, y):
x = r cos theta
y = r sin theta
r = raizx^2 + y^2
Essas relações vão nos ajudar a substituir $ r $ e $ \theta $ na nossa equação polar.

Passo 3

A equação dada é $ r = \sin 3\theta $. Nosso objetivo é expressar isso em termos de $ x $ e $ y $. Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para $ \sin 3\theta $:
r = sin 3theta
Substituindo isso na equação original:
x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ \sin \theta $ por $ \frac{y}{r} $, usando a relação $ y = r \sin \theta $:
sin theta
Multiplicando ambos os lados por $ r $ para eliminar os denominadores:
yr
Mas sabemos que $ r^2 = x^2 + y^2 $, então podemos substituir:
y = r sin theta

Passo 5

Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por $ x^2 + y^2 $:
x^2 + y^2
Expandindo os termos:
(x^2 + y^2)(x^2 + y^2) = 3y(x^2 + y^2) - 4y^3
Simplificando:
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 3x^2y + 3y^3 - 4y^3
Ou seja:
x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 3x^2y - (-y^3) = 0

Resposta

A equação cartesiana da curva $ C: r = \sin 3\theta $ é:
C: r = sin 3theta

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