Determine as equaçöes cartesianas das curvas abaixo dadas em coordenadas polares e faça um aboço.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a equação polar $ C: r = \sin 3\theta $ em equações cartesianas e fazer um esboço da curva. Isso envolve conhecimentos de coordenadas polares e cartesianas, além de entender como converter de uma forma para outra. Vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas polares e cartesianas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas básicas de conversão entre coordenadas polares
e cartesianas
:
Essas relações vão nos ajudar a substituir $ r $ e $ \theta $ na nossa equação polar.
Passo 3
A equação dada é $ r = \sin 3\theta $. Nosso objetivo é expressar isso em termos de $ x $ e $ y $. Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para $ \sin 3\theta $:
Substituindo isso na equação original:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ \sin \theta $ por $ \frac{y}{r} $, usando a relação $ y = r \sin \theta $:
Multiplicando ambos os lados por $ r $ para eliminar os denominadores:
Mas sabemos que $ r^2 = x^2 + y^2 $, então podemos substituir:
Passo 5
Para simplificar, multiplicamos ambos os lados por $ x^2 + y^2 $:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Ou seja:
Resposta
A equação cartesiana da curva $ C: r = \sin 3\theta $ é: