Assinale todas as alternativas verdadeiras sobre o único ponto crítico de g(x, y)=x y+2 x-ln (x^2 y) :
Ele está no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar o único ponto crítico da função e verificar se ele está no primeiro quadrante. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, especificamente em pontos críticos e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , igualar essas derivadas a zero e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial gpartial x = y + 2 - 2x em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial gpartial y = x - 1y em relação a . Aqui, é tratado como uma constante.

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero.
y + 2 - 2x = 0 (1)
x - 1y = 0 (2)

Passo 5

Vamos resolver a equação (2) para x = 1y :

Passo 6

Agora, substituímos y + 2 - 2y = 0 na equação (1):
-y + 2 = 0
y = 2

Passo 7

Com x = 12 , encontramos :

Passo 8

Então, o ponto crítico é .

Resposta

O único ponto crítico da função é , que está no primeiro quadrante.

Exercícios relacionados