Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam
números reais. O domínio da função
é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
Sejam
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos, entre as alternativas dadas, quais são corretas sobre o domínio da função
onde
são números reais. As informações relevantes fornecidas nas alternativas que precisamos verificar são combinações específicas de valores de
(por exemplo
,
, sinal de
, comparação
com
, e sinal de
). O objetivo é dizer, para cada alternativa, se a descrição do domínio está correta sob as hipóteses indicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever claramente as condições que definem o domínio de
. Denote
e
Como há uma raiz quadrada, o argumento dentro dela deve ser não-negativo e o denominador não pode ser zero. Ou seja, o domínio é o conjunto de
tais que simultaneamente
e
Explicando didaticamente: a condição
evita divisão por zero; a condição
vem da exigência de que o conteúdo da raiz quadrada seja maior ou igual a zero. Quando
então precisamos de
; quando
precisamos de
; quando
o valor da raiz é
(desde que
).
Passo 3
Muitas alternativas têm
e
. Nesse caso
ou seja, o denominador é uma constante. Se
a expressão não está bem definida (denominador zero para todos os
), e o domínio seria vazio. Se
, então
tem sinal fixo e as condições simplificam-se para:
- se
: exigir (pois dividir por não inverte sinal); - se
: exigir (pois dividir por inverte sinal).
Portanto, quando
e
com
, o domínio é o conjunto de todos os
com
satisfazendo a desigualdade correspondente e
livre (ou seja, é um produto do conjunto de
admissíveis por
em
).
Passo 4
Precisamos agora entender o conjunto de
que satisfaz
ou
. Para isso usamos propriedades básicas de quadráticas. Defina o discriminante
Casos clássicos:
- Se
, a quadrática não tem raízes reais e mantém o mesmo sinal para todo ; esse sinal é o sinal de : se então para todo ; se então para todo . - Se
, existem duas raízes reais . O comportamento depende de : - Se
(parábola voltada para cima), então para e (ou seja, fora do intervalo ), e em . - Se
(parábola voltada para baixo), então para e fora desse intervalo.
- Se
- Se
, há uma raiz dupla e tem sinal de exceto ser zero na raiz.
Esses fatos permitem determinar se o conjunto de
que torna
(ou
) é todo
, um intervalo, a união de dois intervalos, etc.
Passo 5
Agora aplicamos esses raciocínios às alternativas específicas. Comecemos pela alternativa (a):
Hipóteses: (ou seja
),
,
,
,
.
Com temos
. Logo o domínio exige
. Para
e
a quadrática é positiva exatamente no intervalo fechado entre as raízes:
se e somente se
. Portanto o domínio é
Hipóteses:
Com
que é um único conjunto conexo (uma faixa vertical), e não a união disjunta de dois conjuntos conexos. Conclusão: a alternativa (a) é falsa.
Passo 6
Alternativa (b):
Hipóteses: (ou seja
),
,
,
,
.
Com temos
. Então a condição é
. Mas para
e
sabemos que
para todo
(a quadrática não muda de sinal e segue o sinal de
). Logo
é satisfeita para todo
. Além disso
porque
. Portanto não há restrição em
nem em
: o domínio é todo
. Conclusão: a alternativa (b) é verdadeira.
Hipóteses:
Com
Passo 7
Alternativa (c):
Hipóteses: (
),
,
,
,
.
Com precisamos de
. Para
e
temos
para todo
. Assim
vale para todo
, e o domínio é todo
. A alternativa afirma que o domínio é a união disjunta de dois conjuntos conexos — isso é falso. Conclusão: (c) é falsa.
Hipóteses:
Com
Passo 8
Alternativa (d):
Hipóteses: (
),
,
,
,
.
Como vimos no passo anterior, essas hipóteses implicam para todo
e
, logo
para todo
e o domínio é
. Portanto (d) é verdadeira.
Hipóteses:
Como vimos no passo anterior, essas hipóteses implicam
Passo 9
Alternativa (f):
Hipóteses: (
),
,
,
.
Aqui . Com
e
temos
para todo
. Para que
é necessário que
(porque
); mas
muda de sinal quando
(é uma função afim em
que atinge valores arbitrariamente grandes positivos e negativos conforme
), logo existe um valor de
(especificamente
) onde
e regiões onde
. Assim o domínio não pode ser todo
; pelo contrário, é o conjunto de
com
tal que
(e
livre), excluindo a linha
. Conclusão: (f) é falsa.
Hipóteses:
Aqui
Passo 10
Resumo das consequências das análises acima:
- (a) é falsa.
- (b) é verdadeira.
- (c) é falsa.
- (d) é verdadeira.
- (e) é falsa (porque já há alternativas corretas).
- (f) é falsa.
Resposta
(b)
(d)