Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam a, b, c, d, e, f números reais. O domínio da função F(x, y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}} é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
] a. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se \(b^{2}>4 a c\) e \(a<0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f>0\) \[] b. \(\mathbb{R}^{2}\), se \(b^{2}<4 a c\) e \(a<0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f<0 \checkmark\) \[] c. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se \(b^{2}<4 a c\) e \(a>0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f>0\) \[] d. \(\mathbb{R}^{2}\), se \(b^{2}<4 a c\) e \(a>0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f>0 \checkmark\) \[] e. Nenhuma das outras alternativas está correta \[] f. \(\mathbb{R}^{2}\), se \(b^{2}<4 a c\) e \(a>0\) e \(d=0\) e \(e \neq 0\) \[]

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos, entre as alternativas dadas, quais são corretas sobre o domínio da função
F(x,y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}}
onde a,b,c,d,e,f são números reais. As informações relevantes fornecidas nas alternativas que precisamos verificar são combinações específicas de valores de a,b,c,d,e,f (por exemplo d=0, e=0, sinal de f, comparação b^{2} com 4ac, e sinal de a). O objetivo é dizer, para cada alternativa, se a descrição do domínio está correta sob as hipóteses indicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever claramente as condições que definem o domínio de F. Denote
N(x):=a x^{2}+b x+c
e
D(x,y):=d y+e x+f.
Como há uma raiz quadrada, o argumento dentro dela deve ser não-negativo e o denominador não pode ser zero. Ou seja, o domínio é o conjunto de (x,y) tais que simultaneamente
D(x,y)\neq 0
e
\frac{N(x)}{D(x,y)}\ge 0.
Explicando didaticamente: a condição D\neq 0 evita divisão por zero; a condição N/D\ge 0 vem da exigência de que o conteúdo da raiz quadrada seja maior ou igual a zero. Quando D>0 então precisamos de N\ge 0; quando D<0 precisamos de N\le 0; quando N=0 o valor da raiz é 0 (desde que D\neq 0).

Passo 3

Muitas alternativas têm d=0 e e=0. Nesse caso
D(x,y)=f,
ou seja, o denominador é uma constante. Se f=0 a expressão não está bem definida (denominador zero para todos os (x,y)), e o domínio seria vazio. Se f\neq 0, então D tem sinal fixo e as condições simplificam-se para:
  • se f>0: exigir N(x)\ge 0 (pois dividir por f>0 não inverte sinal);
  • se f<0: exigir N(x)\le 0 (pois dividir por f<0 inverte sinal).
Portanto, quando d=0 e e=0 com f\neq 0, o domínio é o conjunto de todos os (x,y) com x satisfazendo a desigualdade correspondente e y livre (ou seja, é um produto do conjunto de x admissíveis por \mathbb{R} em y).

Passo 4

Precisamos agora entender o conjunto de x que satisfaz N(x)\ge 0 ou N(x)\le 0. Para isso usamos propriedades básicas de quadráticas. Defina o discriminante
\Delta := b^{2}-4ac.
Casos clássicos:
  • Se \Delta<0, a quadrática N(x) não tem raízes reais e mantém o mesmo sinal para todo x; esse sinal é o sinal de a: se a>0 então N(x)>0 para todo x; se a<0 então N(x)<0 para todo x.
  • Se \Delta>0, existem duas raízes reais r_{1}<r_{2}. O comportamento depende de a:
    • Se a>0 (parábola voltada para cima), então N(x)>0 para x<r_1 e x>r_2 (ou seja, fora do intervalo (r_1,r_2)), e N(x)<0 em (r_1,r_2).
    • Se a<0 (parábola voltada para baixo), então N(x)>0 para x\in(r_1,r_2) e N(x)<0 fora desse intervalo.
  • Se \Delta=0, há uma raiz dupla e N(x) tem sinal de a exceto ser zero na raiz.
Esses fatos permitem determinar se o conjunto de x que torna N(x)\ge 0 (ou \le 0) é todo \mathbb{R}, um intervalo, a união de dois intervalos, etc.

Passo 5

Agora aplicamos esses raciocínios às alternativas específicas. Comecemos pela alternativa (a):
Hipóteses: b^{2}>4ac (ou seja \Delta>0), a<0, d=0, e=0, f>0.
Com d=0,e=0 temos D=f>0. Logo o domínio exige N(x)\ge 0. Para a<0 e \Delta>0 a quadrática é positiva exatamente no intervalo fechado entre as raízes: N(x)\ge 0 se e somente se x\in[r_1,r_2]. Portanto o domínio é
\{(x,y)\mid x\in[r_1,r_2],\\ y\in\mathbb{R}\},
que é um único conjunto conexo (uma faixa vertical), e não a união disjunta de dois conjuntos conexos. Conclusão: a alternativa (a) é falsa.

Passo 6

Alternativa (b):
Hipóteses: b^{2}<4ac (ou seja \Delta<0), a<0, d=0, e=0, f<0.
Com d=0,e=0 temos D=f<0. Então a condição é N(x)\le 0. Mas para \Delta<0 e a<0 sabemos que N(x)<0 para todo x (a quadrática não muda de sinal e segue o sinal de a). Logo N(x)\le 0 é satisfeita para todo x. Além disso D\neq 0 porque f<0. Portanto não há restrição em x nem em y: o domínio é todo \mathbb{R}^{2}. Conclusão: a alternativa (b) é verdadeira.

Passo 7

Alternativa (c):
Hipóteses: b^{2}<4ac ( \Delta<0), a>0, d=0, e=0, f>0.
Com f>0 precisamos de N(x)\ge 0. Para \Delta<0 e a>0 temos N(x)>0 para todo x. Assim N(x)\ge 0 vale para todo x, e o domínio é todo \mathbb{R}^{2}. A alternativa afirma que o domínio é a união disjunta de dois conjuntos conexos — isso é falso. Conclusão: (c) é falsa.

Passo 8

Alternativa (d):
Hipóteses: b^{2}<4ac ( \Delta<0), a>0, d=0, e=0, f>0.
Como vimos no passo anterior, essas hipóteses implicam N(x)>0 para todo x e D=f>0, logo \frac{N}{D}>0 para todo (x,y) e o domínio é \mathbb{R}^{2}. Portanto (d) é verdadeira.

Passo 9

Alternativa (f):
Hipóteses: b^{2}<4ac ( \Delta<0), a>0, d=0, e\neq 0.
Aqui D(x,y)=e x+f. Com \Delta<0 e a>0 temos N(x)>0 para todo x. Para que \frac{N}{D}\ge 0 é necessário que D(x,y)>0 (porque N>0); mas D(x,y)=ex+f muda de sinal quando e\neq 0 (é uma função afim em x que atinge valores arbitrariamente grandes positivos e negativos conforme x\to\pm\infty), logo existe um valor de x (especificamente x=-f/e) onde D=0 e regiões onde D<0. Assim o domínio não pode ser todo \mathbb{R}^{2}; pelo contrário, é o conjunto de (x,y) com x tal que ex+f>0 (e y livre), excluindo a linha ex+f=0. Conclusão: (f) é falsa.

Passo 10

Resumo das consequências das análises acima:
  • (a) é falsa.
  • (b) é verdadeira.
  • (c) é falsa.
  • (d) é verdadeira.
  • (e) é falsa (porque já há alternativas corretas).
  • (f) é falsa.

Resposta

(b) \mathbb{R}^{2}
(d) \mathbb{R}^{2}

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