Nesta questão, f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função duas vezes diferenciável com f^{\prime \prime}(x) \neq 0, h(x, y)=3 x^{2}+6 y^{2} \mathrm{e} u: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} é dada pela função composta u=f \circ h.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
] a. O gradiente de \(u(x, y)\), calculado no ponto ( 1,1 ), é colinear ao vetor \(6 \vec{i}+12 \vec{j}\) \[] b. O gradiente de \(u(x, y)\), calculado no ponto \((1,1)\), é colinear ao vetor \(6 \vec{i}+24 \vec{j}\) \[] c. \quad u_{x x} / 6-u_{y y} / 12=2\left(3 x^{2}-6 y^{2}\right) \cdot\left(f^{\prime \prime} \circ h\right)\), para todo \(x, y \in \mathbb{R}\) \[] d. \(u_{x x}+u_{y y}=u_{x} / x+u_{y} / y+4\left(9 x^{2}+36 y^{2}\right) \cdot\left(f^{\prime \prime} \circ h\right)\), sempre que \(x \neq 0, y \neq 0\) \[] e. O vetor \(\left(-6 f^{\prime}(9),-12 f^{\prime}(9), 1\right)\) não é normal ao plano tangente ao gráfico de \(u\) pelo ponto de coordenadas \((1,1, u(1,1))\)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\;f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é duas vezes diferenciável com f''(x)\neq 0 (para todo x, segundo o enunciado);\n
\;h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é definida por h(x,y)=3x^{2}+6y^{2};\n
\;u:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é a função composta u=f\circ h, ou seja \;u(x,y)=f(h(x,y)).\n
O enunciado pede que determinemos quais entre as alternativas (a) a (e) são corretas. As alternativas envolvem o gradiente de u em (1,1), certas combinações das derivadas segundas de u, e se um vetor é (ou não) normal ao plano tangente ao gráfico de u em (1,1,u(1,1)).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de u usando a regra da cadeia. Antes, uma explicação curta e prática da regra da cadeia que usaremos:\n
Se u(x,y)=f\big(h(x,y)\big) com h:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} e f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, então ao derivar em relação a x obtemos a multiplicação da derivada de fora pela derivada da função interna em relação a x. Em símbolo:\n
u_x = (f'\circ h)\,h_x,\qquad u_y = (f'\circ h)\,h_y.
Aqui f' é a derivada de f e h_x,h_y são as derivadas parciais de h. Isso é a regra da cadeia para composições de f com h(x,y).\n
Agora calculemos h_x e h_y para a nossa h:
h(x,y)=3x^{2}+6y^{2}\implies h_x=6x,\quad h_y=12y.
Aplicando a regra da cadeia:
u_x = (f'\circ h)\cdot 6x,\qquad u_y = (f'\circ h)\cdot 12y.
Em (1,1) temos h(1,1)=3\cdot1^{2}+6\cdot1^{2}=3+6=9. Logo
u_x(1,1)=6\cdot f'(9),\qquad u_y(1,1)=12\cdot f'(9).
O gradiente em (1,1) é
\nabla u(1,1)=\big(6f'(9),\;12f'(9)\big).

Passo 3

Analisando as afirmações (a) e (b) sobre colinearidade do gradiente:\n
Definição prática de colinearidade que usaremos: dois vetores em \mathbb{R}^2 são colineares se um for múltiplo escalar do outro. O vetor nulo é múltiplo escalar (com fator 0) de qualquer vetor, portanto é colinear com qualquer vetor.\n
Compare \nabla u(1,1)=(6f'(9),12f'(9)) com os vetores dados nas alternativas:\n
  • Alternativa (a) dá o vetor 6\vec{i}+12\vec{j}, isto é (6,12). Note que
\nabla u(1,1)=f'(9)\,(6,12),
ou seja, é exatamente um múltiplo escalar de (6,12) (com escalar f'(9)). Portanto (a) é verdadeira para toda f duas vezes diferenciável — mesmo no caso especial f'(9)=0, o gradiente é o vetor nulo que também é colinear com (6,12).\n
  • Alternativa (b) dá o vetor 6\vec{i}+24\vec{j}, isto é (6,24). Para que (6f'(9),12f'(9)) seja múltiplo escalar de (6,24) precisamos que exista \lambda tal que
(6f'(9),12f'(9))=\lambda(6,24).
Das primeiras coordenadas obtém-se \lambda=f'(9). Das segundas coordenadas obtemos 12f'(9)=24\lambda=24f'(9), que implica 12f'(9)=24f'(9)\Rightarrow 12f'(9)=0\Rightarrow f'(9)=0. Então só no caso especial f'(9)=0 (gradiente nulo) haveria colinearidade; para um f genérico com f'(9)\neq0 não há colinearidade com (6,24). Como o enunciado pede para marcar alternativas corretas em geral (com as hipóteses dadas), (b) não é necessariamente verdadeira e portanto é falsa como afirmação universal.

Passo 4

Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais u_{xx} e u_{yy}. Vou explicar as regras usadas:\n
  • Regra do produto: (gh)'=g'h+gh'.\n
  • Regra da cadeia para derivar uma função composta: já usada antes.\n
    Temos u_x=(f'\circ h)\cdot 6x. Diferenciando em relação a x (aplicando produto + cadeia):
u_{xx}=\big((f'\circ h)\big)_x\cdot 6x + (f'\circ h)\cdot 6.
Pela cadeia \big((f'\circ h)\big)_x=(f''\circ h)\,h_x. Como h_x=6x,
u_{xx}=(f''\circ h)\cdot (6x)\cdot 6x + 6(f'\circ h)=36x^{2}(f''\circ h)+6(f'\circ h).
De modo análogo, partindo de u_y=(f'\circ h)\cdot 12y e derivando em y:
u_{yy}=(f''\circ h)\cdot (12y)\cdot 12y + 12(f'\circ h)=144y^{2}(f''\circ h)+12(f'\circ h).

Passo 5

Verificação da alternativa (c). Queremos calcular \dfrac{u_{xx}}{6}-\dfrac{u_{yy}}{12} e comparar com 2(3x^{2}-6y^{2})\cdot (f''\circ h).\n
Usando os u_{xx} e u_{yy} obtidos:
\frac{u_{xx}}{6}=\frac{36x^{2}(f''\circ h)+6(f'\circ h)}{6}=6x^{2}(f''\circ h)+(f'\circ h),
\frac{u_{yy}}{12}=\frac{144y^{2}(f''\circ h)+12(f'\circ h)}{12}=12y^{2}(f''\circ h)+(f'\circ h).
Subtraindo:
\frac{u_{xx}}{6}-\frac{u_{yy}}{12}=\big(6x^{2}-12y^{2}\big)(f''\circ h).
Note que 6x^{2}-12y^{2}=2(3x^{2}-6y^{2}). Portanto
\frac{u_{xx}}{6}-\frac{u_{yy}}{12}=2(3x^{2}-6y^{2})\cdot (f''\circ h),
para todo x,y\in\mathbb{R}. Assim a alternativa (c) é verdadeira.

Passo 6

Verificação da alternativa (d). Vamos calcular os termos e ver se a identidade dada vale quando x\neq0 e y\neq0.\n
Primeiro somamos u_{xx}+u_{yy} usando as expressões encontradas:
u_{xx}+u_{yy}=\big(36x^{2}+144y^{2}\big)(f''\circ h)+\big(6+12\big)(f'\circ h).
Logo
u_{xx}+u_{yy}=\big(36x^{2}+144y^{2}\big)(f''\circ h)+18(f'\circ h).
Agora calcule u_x/x+u_y/y (a hipótese x\neq0,y\neq0 permite essas divisões):
\frac{u_x}{x}=\frac{6x(f'\circ h)}{x}=6(f'\circ h),\qquad \frac{u_y}{y}=\frac{12y(f'\circ h)}{y}=12(f'\circ h).
Somando:
\frac{u_x}{x}+\frac{u_y}{y}=18(f'\circ h).
Subtraindo desse lado o termo com f' de u_{xx}+u_{yy} obtemos
u_{xx}+u_{yy}-\Big(\frac{u_x}{x}+\frac{u_y}{y}\Big)=\big(36x^{2}+144y^{2}\big)(f''\circ h).
Agora observe que 4(9x^{2}+36y^{2})=36x^{2}+144y^{2}. Portanto a identidade proposta é
u_{xx}+u_{yy}=\frac{u_x}{x}+\frac{u_y}{y}+4\big(9x^{2}+36y^{2}\big)(f''\circ h),
que é exatamente verdadeira sempre que x\neq0 e y\neq0. Assim (d) é verdadeira.

Passo 7

Verificação da alternativa (e) — normal ao plano tangente ao gráfico de u em (1,1,u(1,1)).\n
Para o gráfico z=u(x,y), um vetor normal ao plano tangente no ponto (x_{0},y_{0},u(x_{0},y_{0})) é dado por
\big(-u_x(x_{0},y_{0}),\,-u_y(x_{0},y_{0}),\,1\big).
Aplicando em (1,1), usamos u_x(1,1)=6f'(9) e u_y(1,1)=12f'(9) (obtidos no Passo 2). Assim um vetor normal é
\big(-6f'(9),\,-12f'(9),\,1\big).
A alternativa (e) afirma que o vetor \big(-6f'(9),-12f'(9),1\big) não é normal ao plano tangente; isso contradiz o cálculo direto acima. Portanto (e) é falsa (o vetor dado é de fato um vetor normal ao plano tangente).

Resposta

a, c, d

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