Nesta questão,
é uma função duas vezes diferenciável com
é dada pela função composta
.
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Escolha uma ou mais:
Entre as alternativas abaixo, marque as corretas.
Escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
é duas vezes diferenciável com
(para todo
, segundo o enunciado);\n
é definida por
;\n
é a função composta
, ou seja
.\n
O enunciado pede que determinemos quais entre as alternativas (a) a (e) são corretas. As alternativas envolvem o gradiente de em
, certas combinações das derivadas segundas de
, e se um vetor é (ou não) normal ao plano tangente ao gráfico de
em
.
O enunciado pede que determinemos quais entre as alternativas (a) a (e) são corretas. As alternativas envolvem o gradiente de
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
usando a regra da cadeia. Antes, uma explicação curta e prática da regra da cadeia que usaremos:\n
Se com
e
, então ao derivar em relação a
obtemos a multiplicação da derivada de fora pela derivada da função interna em relação a
. Em símbolo:\n
Se
Aqui
é a derivada de
e
são as derivadas parciais de
. Isso é a regra da cadeia para composições de
com
.\n
Agora calculemos e
para a nossa
:
Agora calculemos
Aplicando a regra da cadeia:
Em
temos
. Logo
O gradiente em
é
Passo 3
Analisando as afirmações (a) e (b) sobre colinearidade do gradiente:\n
Definição prática de colinearidade que usaremos: dois vetores em são colineares se um for múltiplo escalar do outro. O vetor nulo é múltiplo escalar (com fator
) de qualquer vetor, portanto é colinear com qualquer vetor.\n
Compare com os vetores dados nas alternativas:\n
Definição prática de colinearidade que usaremos: dois vetores em
Compare
- Alternativa (a) dá o vetor
, isto é . Note que
ou seja, é exatamente um múltiplo escalar de
(com escalar
). Portanto (a) é verdadeira para toda
duas vezes diferenciável — mesmo no caso especial
, o gradiente é o vetor nulo que também é colinear com
.\n
- Alternativa (b) dá o vetor
, isto é . Para que seja múltiplo escalar de precisamos que exista tal que
Das primeiras coordenadas obtém-se
. Das segundas coordenadas obtemos
, que implica
. Então só no caso especial
(gradiente nulo) haveria colinearidade; para um
genérico com
não há colinearidade com
. Como o enunciado pede para marcar alternativas corretas em geral (com as hipóteses dadas), (b) não é necessariamente verdadeira e portanto é falsa como afirmação universal.
Passo 4
Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais
e
. Vou explicar as regras usadas:\n
- Regra do produto:
.\n - Regra da cadeia para derivar uma função composta: já usada antes.\n
Temos. Diferenciando em relação a (aplicando produto + cadeia):
Pela cadeia
. Como
,
De modo análogo, partindo de
e derivando em
:
Passo 5
Verificação da alternativa (c). Queremos calcular
e comparar com
.\n
Usando os e
obtidos:
Usando os
Subtraindo:
Note que
. Portanto
para todo
. Assim a alternativa (c) é verdadeira.
Passo 6
Verificação da alternativa (d). Vamos calcular os termos e ver se a identidade dada vale quando
e
.\n
Primeiro somamos usando as expressões encontradas:
Primeiro somamos
Logo
Agora calcule
(a hipótese
permite essas divisões):
Somando:
Subtraindo desse lado o termo com
de
obtemos
Agora observe que
. Portanto a identidade proposta é
que é exatamente verdadeira sempre que
e
. Assim (d) é verdadeira.
Passo 7
Verificação da alternativa (e) — normal ao plano tangente ao gráfico de
em
.\n
Para o gráfico , um vetor normal ao plano tangente no ponto
é dado por
Para o gráfico
Aplicando em
, usamos
e
(obtidos no Passo 2). Assim um vetor normal é
A alternativa (e) afirma que o vetor
não é normal ao plano tangente; isso contradiz o cálculo direto acima. Portanto (e) é falsa (o vetor dado é de fato um vetor normal ao plano tangente).
Resposta
a, c, d