Considere a igualdade
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
] a. Não existem \(m\) e \(n\) tais que esta igualdade occore \[] b. \(m-n=3\) \[] c. \(m-n=-1\) \[] d. \(m+n=9\) \[] e. \(m+n=14\) \[] f. \(m+n=12\) \[] g. \(m-n=0\) \[] h. \(m-n=2\) \[] i. \(m+n=10\)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2m}+y^{2n}} = 1,
onde m e n são inteiros positivos. Preciso decidir quais das alternativas listadas são verdadeiras (podem ser mais de uma). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão que aparece no limite é \dfrac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2m}+y^{2n}}.
  • O limite quando (x,y)\to(0,0) deve ser igual a 1.
  • m,n\in\mathbb{Z}_{>0}.
    Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Uma ideia clássica para limites de duas variáveis é testar caminhos especiais (por exemplo y=0 e x=0). Primeiro tomo o caminho y=0. Substituindo y=0 na função:
\frac{x^{12}+(\operatorname{sen} 0)^{6}}{x^{2m}+0^{2n}} = \frac{x^{12}+0}{x^{2m}} = x^{12-2m}.
Agora analiso o limite unidimensional \lim_{x\to0} x^{12-2m}. Lembre:
  • Se o expoente 12-2m>0, então x^{12-2m}\to 0.
  • Se 12-2m<0, então x^{12-2m}\to +\infty (em módulo diverge; para potências pares não há mudança de sinal).
  • Se 12-2m=0, então x^{12-2m}=x^0=1 e o limite é 1.
    Como precisamos que o limite da função original (em particular ao longo de y=0) seja 1, é necessário que
12-2m=0 \quad\Rightarrow\quad m=6.

Passo 3

Agora tomo o caminho x=0. Substituindo x=0 obtemos
\frac{0^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{0^{2m}+y^{2n}} = \frac{(\operatorname{sen} y)^{6}}{y^{2n}}.
Para pequenos y usamos o desenvolvimento de Taylor (ou o limite clássico) \dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\to 1 quando y\to0. Logo (\operatorname{sen} y)^{6} \sim y^{6}, mais precisamente (\operatorname{sen} y)^{6} = y^{6}\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6} e \left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}\to 1. Agora analiso \dfrac{(\operatorname{sen} y)^{6}}{y^{2n}} \approx y^{6-2n}:
  • Se 6-2n>0, o limite é 0.
  • Se 6-2n<0, o limite diverge.
  • Se 6-2n=0, então o fator principal é constante não-nulo e, usando \dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\to1, o limite será 1.
    Para que o limite ao longo de x=0 seja 1 precisamos de
6-2n=0 \quad\Rightarrow\quad n=3.

Passo 4

Já vimos que, para o requisito ao longo dos eixos, necessariamente m=6 e n=3. Isso mostra que quaisquer m,n diferentes desses não podem dar limite 1 (porque então ao menos um dos dois caminhos x=0 ou y=0 não produziria 1). Agora preciso verificar que com m=6 e n=3 o limite total (para qualquer forma de aproximação ao ponto) é realmente 1 — isto garante que a condição é suficiente e que a escolha é única.
Com m=6 e n=3 a expressão torna-se
\frac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{12}+y^{6}}.
Escrevo (\operatorname{sen} y)^{6}=y^{6}\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}. Então
\frac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{12}+y^{6}} = \frac{x^{12}+y^{6}\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}}{x^{12}+y^{6}} = 1 + \frac{\left(\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}-1\right)y^{6}}{x^{12}+y^{6}}.
Denote s(y)=\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}. Sabemos que s(y)\to 1 quando y\to 0. Então a diferença entre a expressão e 1 é
\left|\frac{\left(s(y)-1\right)y^{6}}{x^{12}+y^{6}}\right| \le |s(y)-1|\cdot \frac{y^{6}}{x^{12}+y^{6}}.
Note que \dfrac{y^{6}}{x^{12}+y^{6}}\le 1 sempre (denominador maior ou igual ao numerador). Assim
\left|\frac{\left(s(y)-1\right)y^{6}}{x^{12}+y^{6}}\right| \le |s(y)-1|.
Como s(y)\to1, o lado direito tende a 0. Portanto a diferença entre a fração original e 1 tende a 0 quando (x,y)\to(0,0). Concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{12}+y^{6}} = 1.
Logo m=6 e n=3 é não só necessário (pelos caminhos nas coordenadas) como suficiente (pela estimativa acima) para que o limite seja 1.

Passo 5

Agora relaciono m=6 e n=3 com as alternativas dadas:
  • m-n = 6-3 = 3 (alternativa b).
  • m+n = 6+3 = 9 (alternativa d).
    Todas as outras equalidades propostas não correspondem a m=6,n=3.

Resposta

b. m-n=3
d. m+n=9

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