Considere a igualdade \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2 m}+y^{2 n}}=1
onde m, n são números inteiros positivos. Então é correto afirmar que:
Escolha uma ou mais:
] a. Não existem \(m\) e \(n\) tais que esta igualdade occore
\[] b. \(m-n=3\)
\[] c. \(m-n=-1\)
\[] d. \(m+n=9\)
\[] e. \(m+n=14\)
\[] f. \(m+n=12\)
\[] g. \(m-n=0\)
\[] h. \(m-n=2\)
\[] i. \(m+n=10\)
onde m e n são inteiros positivos. Preciso decidir quais das alternativas listadas são verdadeiras (podem ser mais de uma). Informações relevantes extraídas do enunciado:
A expressão que aparece no limite é \dfrac{x^{12}+(\operatorname{sen} y)^{6}}{x^{2m}+y^{2n}}.
O limite quando (x,y)\to(0,0) deve ser igual a 1.
m,n\in\mathbb{Z}_{>0}.
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Uma ideia clássica para limites de duas variáveis é testar caminhos especiais (por exemplo y=0 e x=0). Primeiro tomo o caminho y=0. Substituindo y=0 na função:
Agora analiso o limite unidimensional \lim_{x\to0} x^{12-2m}. Lembre:
Se o expoente 12-2m>0, então x^{12-2m}\to 0.
Se 12-2m<0, então x^{12-2m}\to +\infty (em módulo diverge; para potências pares não há mudança de sinal).
Se 12-2m=0, então x^{12-2m}=x^0=1 e o limite é 1.
Como precisamos que o limite da função original (em particular ao longo de y=0) seja 1, é necessário que
12-2m=0 \quad\Rightarrow\quad m=6.
Passo 3
Agora tomo o caminho x=0. Substituindo x=0 obtemos
Para pequenos y usamos o desenvolvimento de Taylor (ou o limite clássico) \dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\to 1 quando y\to0. Logo (\operatorname{sen} y)^{6} \sim y^{6}, mais precisamente (\operatorname{sen} y)^{6} = y^{6}\left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6} e \left(\dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\right)^{6}\to 1. Agora analiso \dfrac{(\operatorname{sen} y)^{6}}{y^{2n}} \approx y^{6-2n}:
Se 6-2n>0, o limite é 0.
Se 6-2n<0, o limite diverge.
Se 6-2n=0, então o fator principal é constante não-nulo e, usando \dfrac{\operatorname{sen} y}{y}\to1, o limite será 1.
Para que o limite ao longo de x=0 seja 1 precisamos de
6-2n=0 \quad\Rightarrow\quad n=3.
Passo 4
Já vimos que, para o requisito ao longo dos eixos, necessariamente m=6 e n=3. Isso mostra que quaisquer m,n diferentes desses não podem dar limite 1 (porque então ao menos um dos dois caminhos x=0 ou y=0 não produziria 1). Agora preciso verificar que com m=6 e n=3 o limite total (para qualquer forma de aproximação ao ponto) é realmente 1 — isto garante que a condição é suficiente e que a escolha é única.