Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam
números reais. O domínio da função
é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
Sejam
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos, entre as alternativas dadas, quais descrevem corretamente o domínio da função
onde
são números reais. Cada alternativa dá condições sobre os coeficientes e uma descrição do domínio; devemos verificar, para as condições de cada alternativa, se a descrição é correta (valendo para todos os casos que satisfazem as condições). Vou listar as informações relevantes que cada alternativa dá:
- Alternativa (a):
. - Alternativa (b):
. - Alternativa (c):
. - Alternativa (d):
. - Alternativa (e): “Nenhuma das outras alternativas está correta.”
- Alternativa (f):
.
Observações iniciais extraídas do enunciado: cada alternativa impõe condições específicas sobre
; em várias alternativas temos
(o que simplifica a dependência em
). A tarefa é verificar, passo a passo, se a descrição do domínio que cada alternativa propõe está correta sob as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição geral para que
pertença ao domínio de
. O argumento da raiz quadrada deve estar bem definido (denominador diferente de zero) e não-negativo. Então:
Explicando com calma: a expressão
só existe quando
. Além disso, a raiz quadrada exige que essa fração seja maior ou igual a zero. Portanto, temos duas condições simultâneas: denominador diferente de zero e sinal adequado da fração.
Passo 3
Agora note um caso que aparece em várias alternativas:
e
. Se
e
então o denominador é constante igual a
. Nesse caso o domínio não depende de
: a restrição sobre
some (desde que
), e a condição fica só em
. Mais precisamente, com
e
obtemos:
Então é necessário
. Além disso
Se
isso equivale a
enquanto se
a desigualdade é equivalente a
Como o denominador é constante, o domínio será do tipo
, onde
é o conjunto de
que satisfazem a desigualdade quadrática. Em termos de conectividade: o domínio será uma união de “tiras” infinitas
, uma para cada intervalo em
. Assim o número de componentes conexas do domínio em
coincide com o número de componentes (intervalos) de
na reta.
Passo 4
Lembrete rápido sobre quadráticas: para
com
,
- se
então não tem raízes reais e mantém o sinal de para todo ; - se
então tem duas raízes reais ; se então em e em ; se o sinal é invertido: em e fora desse intervalo.
Vou usar isso para analisar as alternativas que têm
.
Passo 5
Condições:
.
Com
temos a condição sobre
:
(porque dividimos por
e a desigualdade inverte). Mas com
e
, a quadrática
é estritamente positiva para todo
. Logo a desigualdade
não tem solução:
. Portanto o domínio é o conjunto vazio (não há nenhum
que satisfaça), e não uma união de três conjuntos conexos. Conclusão: a alternativa (a) é falsa.
Passo 6
Ambas têm as mesmas hipóteses listadas:
. (As alternativas (b) e (c) são contraditórias entre si quanto à forma do domínio; vamos checar qual é a correta.)
Com
a condição fica
Como
e
, a quadrática abre para baixo e tem duas raízes reais
. O conjunto
é exatamente
(o trecho entre as raízes). Então
é um único intervalo compacto. O domínio na
é
, que é um conjunto conexo (é uma única tira fechada, conectada) e claramente diferente de
(porque não contém pontos com
fora de
). Portanto:
- A alternativa (b) afirma que o domínio é "um conjunto conexo diferente de
" — isso é verdadeiro sob as hipóteses dadas. (Portanto (b) seria correta.) - A alternativa (c) afirma que o domínio é “a união disjunta de três conjuntos conexos” — isso é falso, pois é apenas um único conjunto conexo.
Concluímos: (b) é verdadeira e (c) é falsa. Porém, atenção: mais abaixo vamos verificar se a leitura original do enunciado exige que cada alternativa seja verdadeira para TODOS os valores que satisfazem as condições; aqui já provamos que sob as condições dadas para (b) o domínio é de fato um conjunto conexo distinto de
. Então (b) está correta.
Passo 7
Condições:
.
Com
a condição é
Agora
e
implica que a quadrática tem duas raízes reais
e abre para cima. Portanto
ocorre em
, ou seja, em dois intervalos desconexos. Assim
tem duas componentes; o domínio é
, que é a união disjunta de duas tiras (duas componentes conexas), e não todo
. Portanto (f) que afirma que o domínio é
é falsa.
Passo 8
Agora analisamos a situação em que
mas
. O denominador é
, que depende de
mas não de
. A condição do domínio se torna:
Como a restrição não envolve
, o domínio novamente tem a forma
onde
é o conjunto de
que satisfazem a desigualdade racional. Para estudar
fazemos um diagrama de sinais: as mudanças de sinal do quociente ocorrem nas raízes da numeradora (no máximo duas, já que é quadrática) e na raiz do denominador
. Assim o eixo real é particionado em até três intervalos por esses pontos e, em geral, o conjunto
pode ser a união de até dois intervalos disjuntos (pelo raciocínio de sinais; nunca dará três intervalos positivos distintos porque o denominador muda de sinal apenas uma vez). Concretamente, máximo de duas componentes é possível, mas dependendo das posições relativas de
e
pode resultar em uma única componente, duas componentes, ou até o conjunto vazio.
Para mostrar que a alternativa (d) — que afirma “a união disjunta de dois conjuntos conexos” sob as hipóteses
— é inválida como afirmação universal, basta um contraexemplo onde as hipóteses sejam satisfeitas mas o domínio não seja a união de exatamente duas componentes.
Passo 9
Escolhamos um exemplo simples que satisfaça
e
, com
e
. Por exemplo:
tem
e raízes
. Tome
(assim
). Então
O sinal do quociente em cada intervalo determinado por
é (fazendo o diagrama de sinais) positivo apenas em
e negativo em
e negativo também em
, etc. Com esses valores, verifica-se que a solução da desigualdade
é exatamente
um único intervalo (ou seja, apenas uma componente). Portanto o domínio é
, que é um conjunto conexo único, não a união de dois conjuntos conexos. Assim (d) é falsa como afirmação geral.
Observação: outros exemplos com as mesmas hipóteses podem produzir duas componentes, ou mesmo nenhuma, dependendo da posição relativa de
e das raízes. Logo a alternativa (d) não é sempre verdadeira.
Passo 10
Recapitulando as conclusões de cada alternativa:
- (a) Falsa — sob as hipóteses o domínio é vazio, não a união de três componentes.
- (b) Verdadeira — para
o domínio é , um conjunto conexo diferente de . - (c) Falsa — contradiz (b); o domínio não é união de três componentes.
- (d) Falsa — com
o domínio pode ter uma, duas ou zero componentes; não é garantidamente a união de duas componentes. - (e) Depende de haver alguma alternativa correta entre (a)–(f). Como (b) é correta, (e) que afirma que “nenhuma das outras alternativas está correta” é falsa.
- (f) Falsa — sob as hipóteses dá duas tiras, não todo
.
Passo 11
Portanto a única alternativa correta é (b). (Todas as demais são falsas conforme as análises e os contraexemplos mostrados.)
Resposta
(b)