Assinale todas as opções corretas, se existirem:
Sejam a, b, c, d, e, f números reais. O domínio da função F(x, y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}} é constituído de
(escolhas corretas valem pontos positivos, escolhas incorretas valem pontos negativos, e a pontuação mínima da questão é zero.)
Escolha uma ou mais:
] a. A união disjunta de três conjuntos conexos que não se conectam, se \(b^{2}<4 a c\) e \(a>0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f<0\) \[] b. Um conjunto conexo diferente de \(\mathbb{R}^{2}\), se \(b^{2}>4 a c\) e \(a<0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f>0\) \[] c. A união disjunta de três conjuntos conexos que não se conectam, se \(b^{2}>4 a c\) e \(a<0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f>0\) \[] d. A união disjunta de dois conjuntos conexos que não se conectam, se \(b^{2}>4 a c\) e \(a<0\) e \(d=0\) e \(e \neq 0\) \[] e. Nenhuma das outras alternativas está correta \[] f. \(\mathbb{R}^{2}\), se \(b^{2}>4 a c\) e \(a>0\) e \(d=0\) e \(e=0\) e \(f>0\)

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos, entre as alternativas dadas, quais descrevem corretamente o domínio da função
F(x,y)=\sqrt{\frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}},
onde a,b,c,d,e,f são números reais. Cada alternativa dá condições sobre os coeficientes e uma descrição do domínio; devemos verificar, para as condições de cada alternativa, se a descrição é correta (valendo para todos os casos que satisfazem as condições). Vou listar as informações relevantes que cada alternativa dá:
  • Alternativa (a): b^{2}<4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f<0.
  • Alternativa (b): b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
  • Alternativa (c): b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
  • Alternativa (d): b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e\neq 0.
  • Alternativa (e): “Nenhuma das outras alternativas está correta.”
  • Alternativa (f): b^{2}>4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
Observações iniciais extraídas do enunciado: cada alternativa impõe condições específicas sobre a,b,c,d,e,f; em várias alternativas temos d=0 (o que simplifica a dependência em y). A tarefa é verificar, passo a passo, se a descrição do domínio que cada alternativa propõe está correta sob as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição geral para que (x,y) pertença ao domínio de F. O argumento da raiz quadrada deve estar bem definido (denominador diferente de zero) e não-negativo. Então:
\text{Dom}(F)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\\ d y+e x+f\neq 0\\ \text{e}\\ \frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f}\ge 0\}.
Explicando com calma: a expressão \frac{a x^{2}+b x+c}{d y+e x+f} só existe quando d y+e x+f\neq 0. Além disso, a raiz quadrada exige que essa fração seja maior ou igual a zero. Portanto, temos duas condições simultâneas: denominador diferente de zero e sinal adequado da fração.

Passo 3

Agora note um caso que aparece em várias alternativas: d=0 e e=0. Se d=0 e e=0 então o denominador é constante igual a f. Nesse caso o domínio não depende de y: a restrição sobre y some (desde que f\neq0), e a condição fica só em x. Mais precisamente, com d=0 e e=0 obtemos:
d y+e x+f = f.
Então é necessário f\neq 0. Além disso
\frac{a x^{2}+b x+c}{f}\ge 0.
Se f>0 isso equivale a
a x^{2}+b x+c \ge 0,
enquanto se f<0 a desigualdade é equivalente a
a x^{2}+b x+c \le 0.
Como o denominador é constante, o domínio será do tipo S_x\times\mathbb{R}, onde S_x\subset\mathbb{R} é o conjunto de x que satisfazem a desigualdade quadrática. Em termos de conectividade: o domínio será uma união de “tiras” infinitas I\times\mathbb{R}, uma para cada intervalo em S_x. Assim o número de componentes conexas do domínio em \mathbb{R}^2 coincide com o número de componentes (intervalos) de S_x na reta.

Passo 4

Lembrete rápido sobre quadráticas: para p(x)=a x^2+b x+c com a\neq 0,
  • se b^{2}-4ac<0 então p(x) não tem raízes reais e mantém o sinal de a para todo x;
  • se b^{2}-4ac>0 então p tem duas raízes reais r_1<r_2; se a>0 então p(x)\ge0 em (-\infty,r_1]\cup[r_2,\infty) e p(x)<0 em (r_1,r_2); se a<0 o sinal é invertido: p(x)\ge0 em [r_1,r_2] e p(x)<0 fora desse intervalo.
Vou usar isso para analisar as alternativas que têm d=0,e=0.

Passo 5

Condições: b^{2}<4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f<0.
Com d=0,e=0,f<0 temos a condição sobre x:
a x^{2}+b x+c \le 0
(porque dividimos por f<0 e a desigualdade inverte). Mas com a>0 e b^{2}-4ac<0, a quadrática a x^{2}+b x+c é estritamente positiva para todo x. Logo a desigualdade a x^{2}+b x+c\le 0 não tem solução: S_x=\varnothing. Portanto o domínio é o conjunto vazio (não há nenhum (x,y) que satisfaça), e não uma união de três conjuntos conexos. Conclusão: a alternativa (a) é falsa.

Passo 6

Ambas têm as mesmas hipóteses listadas: b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0. (As alternativas (b) e (c) são contraditórias entre si quanto à forma do domínio; vamos checar qual é a correta.)
Com d=0,e=0,f>0 a condição fica
a x^{2}+b x+c \ge 0.
Como a<0 e b^{2}-4ac>0, a quadrática abre para baixo e tem duas raízes reais r_1<r_2. O conjunto \{x: a x^{2}+b x+c \ge 0\} é exatamente [r_1,r_2] (o trecho entre as raízes). Então S_x=[r_1,r_2] é um único intervalo compacto. O domínio na \mathbb{R}^2 é S_x\times\mathbb{R} = [r_1,r_2]\times\mathbb{R}, que é um conjunto conexo (é uma única tira fechada, conectada) e claramente diferente de \mathbb{R}^2 (porque não contém pontos com x fora de [r_1,r_2]). Portanto:
  • A alternativa (b) afirma que o domínio é "um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^2" — isso é verdadeiro sob as hipóteses dadas. (Portanto (b) seria correta.)
  • A alternativa (c) afirma que o domínio é “a união disjunta de três conjuntos conexos” — isso é falso, pois é apenas um único conjunto conexo.
Concluímos: (b) é verdadeira e (c) é falsa. Porém, atenção: mais abaixo vamos verificar se a leitura original do enunciado exige que cada alternativa seja verdadeira para TODOS os valores que satisfazem as condições; aqui já provamos que sob as condições dadas para (b) o domínio é de fato um conjunto conexo distinto de \mathbb{R}^2. Então (b) está correta.

Passo 7

Condições: b^{2}>4ac,\\ a>0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0.
Com d=0,e=0,f>0 a condição é
a x^{2}+b x+c \ge 0.
Agora a>0 e b^{2}-4ac>0 implica que a quadrática tem duas raízes reais r_1<r_2 e abre para cima. Portanto a x^{2}+b x+c\ge0 ocorre em (-\infty,r_1]\cup[r_2,\infty), ou seja, em dois intervalos desconexos. Assim S_x tem duas componentes; o domínio é S_x\times\mathbb{R}, que é a união disjunta de duas tiras (duas componentes conexas), e não todo \mathbb{R}^2. Portanto (f) que afirma que o domínio é \mathbb{R}^2 é falsa.

Passo 8

Agora analisamos a situação em que d=0 mas e\neq 0. O denominador é e x+f, que depende de x mas não de y. A condição do domínio se torna:
e x+f \neq 0\quad\text{e}\quad \frac{a x^{2}+b x+c}{e x+f}\ge 0.
Como a restrição não envolve y, o domínio novamente tem a forma S_x\times\mathbb{R} onde S_x\subset\mathbb{R} é o conjunto de x que satisfazem a desigualdade racional. Para estudar S_x fazemos um diagrama de sinais: as mudanças de sinal do quociente ocorrem nas raízes da numeradora (no máximo duas, já que é quadrática) e na raiz do denominador x_0=-f/e. Assim o eixo real é particionado em até três intervalos por esses pontos e, em geral, o conjunto \{x: (a x^{2}+b x+c)/(e x+f)\ge0\} pode ser a união de até dois intervalos disjuntos (pelo raciocínio de sinais; nunca dará três intervalos positivos distintos porque o denominador muda de sinal apenas uma vez). Concretamente, máximo de duas componentes é possível, mas dependendo das posições relativas de r_1,r_2 e x_0 pode resultar em uma única componente, duas componentes, ou até o conjunto vazio.
Para mostrar que a alternativa (d) — que afirma “a união disjunta de dois conjuntos conexos” sob as hipóteses b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e\neq 0 — é inválida como afirmação universal, basta um contraexemplo onde as hipóteses sejam satisfeitas mas o domínio não seja a união de exatamente duas componentes.

Passo 9

Escolhamos um exemplo simples que satisfaça b^{2}>4ac e a<0, com d=0 e e\neq 0. Por exemplo:
a=-1,\quad b=0,\quad c=1\quad\Rightarrow\quad a x^{2}+b x+c = -x^{2}+1,
tem b^{2}-4ac = 0 -4(-1)(1)=4>0 e raízes r_1=-1,\\ r_2=1. Tome e=1,\\ f=-3 (assim x_0=-f/e=3). Então
\frac{a x^{2}+b x+c}{e x+f}=\frac{1-x^{2}}{x-3}.
O sinal do quociente em cada intervalo determinado por -\infty,-1,1,3,\infty é (fazendo o diagrama de sinais) positivo apenas em (-\infty,-1) e negativo em (-1,1) e negativo também em (3,\infty), etc. Com esses valores, verifica-se que a solução da desigualdade \frac{1-x^{2}}{x-3}\ge0 é exatamente
S_x = (-\infty,-1),
um único intervalo (ou seja, apenas uma componente). Portanto o domínio é (-\infty,-1)\times\mathbb{R}, que é um conjunto conexo único, não a união de dois conjuntos conexos. Assim (d) é falsa como afirmação geral.
Observação: outros exemplos com as mesmas hipóteses podem produzir duas componentes, ou mesmo nenhuma, dependendo da posição relativa de x_0 e das raízes. Logo a alternativa (d) não é sempre verdadeira.

Passo 10

Recapitulando as conclusões de cada alternativa:
  • (a) Falsa — sob as hipóteses o domínio é vazio, não a união de três componentes.
  • (b) Verdadeira — para b^{2}>4ac,\\ a<0,\\ d=0,\\ e=0,\\ f>0 o domínio é [r_1,r_2]\times\mathbb{R}, um conjunto conexo diferente de \mathbb{R}^2.
  • (c) Falsa — contradiz (b); o domínio não é união de três componentes.
  • (d) Falsa — com d=0,e\neq0 o domínio pode ter uma, duas ou zero componentes; não é garantidamente a união de duas componentes.
  • (e) Depende de haver alguma alternativa correta entre (a)–(f). Como (b) é correta, (e) que afirma que “nenhuma das outras alternativas está correta” é falsa.
  • (f) Falsa — sob as hipóteses dá duas tiras, não todo \mathbb{R}^2.

Passo 11

Portanto a única alternativa correta é (b). (Todas as demais são falsas conforme as análises e os contraexemplos mostrados.)

Resposta

(b)

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