Questão 16
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Seja
uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a
é
.
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
com respeito a
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá que a função
é contínua e que sua derivada parcial em relação a
é
A pergunta é: qual das opções apresentadas pode ser a derivada parcial de
em relação a
, ou seja, qual pode ser
Informações relevantes fornecidas:
As opções (a)–(f) estão no enunciado; devemos verificar qual delas é compatível com a informação dada.
Passo 2
Primeiro passo prático: a partir de
podemos recuperar
integrando em relação a
, tratando
como constante ao integrar. Quando integramos uma derivada parcial em relação a
obtemos
mais uma “constante” de integração que pode depender de
. Em linguagem direta: se
então
onde
é uma função arbitrária de
(porque ao derivar em
essa função some). Aqui temos
. Portanto, integrando em
obtemos:
Passo 3
Integração em
:
onde
é alguma função que depende somente de
. Expliquei: ao integrar uma função que não depende de
em relação a
, o resultado é essa função multiplicada por
mais uma função que pode depender de
.
Passo 4
Agora calculamos
a partir de
. Aplicamos a regra do produto e a cadeia:
com
. Ao derivar em
temos
Agora use a regra da cadeia para
. Se
então
. Assim
Calculamos
:
Passo 5
Substituindo tudo, obtemos a forma geral de
:
Observação importante:
é uma função que depende somente de
. Logo, qualquer expressão que possa ser
deve ter:
- Um termo que seja exatamente
(o termo vindo da derivada do ), e - Um termo adicional que dependa apenas de
(correspondendo a ).
Passo 6
Vamos comparar com as opções:
- (a) tem o fator
e um termo trigonométrico parecido, mas o argumento é em vez de , portanto não coincide. - (b) tem
(tem , não ) e argumento ; está incompatível. - (c) argumento com
; incompatível. - (d) tem
mas falta o fator — ou seja, não tem o termo proporcional a que precisamos. - (e) argumento com
; incompatível. - (f) é
Aqui o primeiro termo bate exatamente com o que deduzimos. O segundo termo depende somente de
, então ele pode ser
para alguma função
. Portanto (f) tem a forma exata
ou seja, é compatível.
Passo 7
Conclusão lógica: entre todas as opções, somente a opção (f) tem o termo proporcional a
com argumento
correto e um termo extra que depende apenas de
. Assim (f) é a única que pode ser
compatível com a informação dada.
Resposta
(f)