Questão 16
Não respondido
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Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é \operatorname{sen}^{3}\left(2 y^{2}-y+1\right).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 3 x(4 y-1) \operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-y+3\right) \cos \left(2 y^{2}-y+3\right)+\operatorname{sen}\left(y^{2}+2 y-2\right)
\bigcirc b. 3 x^{2}(4 y-1) \operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-y+3\right) \cos \left(2 y^{2}-y+3\right)
\bigcirc c. 3 x(4 y-1) \operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-y+4\right) \cos \left(2 y^{2}-y+4\right)+\operatorname{sen}\left(y^{2}+2 y-2\right)
\bigcirc d. 3(4 y-1) \operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-y+1\right) \cos \left(2 y^{2}-y+1\right)
\bigcirc e. 3(4 y-1) \operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-y+4\right) \cos \left(2 y^{2}-y+4\right)+\operatorname{sen}\left(y^{2}+2 y-2\right)
\bigcirc f. 3 x(4 y-1) \operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}-y+1\right) \cos \left(2 y^{2}-y+1\right)+\operatorname{sen}\left(y^{2}+2 y-2\right)

Passo 1

O enunciado dá que a função F(x,y) é contínua e que sua derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\operatorname{sen}^{3}\!\bigl(2y^{2}-y+1\bigr).
A pergunta é: qual das opções apresentadas pode ser a derivada parcial de F em relação a y, ou seja, qual pode ser
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)?
Informações relevantes fornecidas:
\text{Dado: }\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\operatorname{sen}^{3}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr).
As opções (a)–(f) estão no enunciado; devemos verificar qual delas é compatível com a informação dada.

Passo 2

Primeiro passo prático: a partir de \frac{\partial F}{\partial x} podemos recuperar F(x,y) integrando em relação a x, tratando y como constante ao integrar. Quando integramos uma derivada parcial em relação a x obtemos F(x,y) mais uma “constante” de integração que pode depender de y. Em linguagem direta: se
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=h(y),
então
F(x,y)=\int h(y)\,dx = x\,h(y)+g(y),
onde g(y) é uma função arbitrária de y (porque ao derivar em x essa função some). Aqui temos h(y)=\operatorname{sen}^{3}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr). Portanto, integrando em x obtemos:

Passo 3

Integração em x:
F(x,y)=\int \operatorname{sen}^{3}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr)\,dx = x\cdot \operatorname{sen}^{3}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr) + g(y),
onde g(y) é alguma função que depende somente de y. Expliquei: ao integrar uma função que não depende de x em relação a x, o resultado é essa função multiplicada por x mais uma função que pode depender de y.

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial F}{\partial y} a partir de F(x,y). Aplicamos a regra do produto e a cadeia:
F(x,y)=x\cdot \operatorname{sen}^{3}\bigl(u(y)\bigr)+g(y),
com u(y)=2y^{2}-y+1. Ao derivar em y temos
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=x\cdot \frac{d}{dy}\bigl[\operatorname{sen}^{3}(u(y))\bigr] + g'(y).
Agora use a regra da cadeia para \frac{d}{dy}\operatorname{sen}^{3}(u(y)). Se h(u)=\operatorname{sen}^{3}(u) então h'(u)=3\operatorname{sen}^{2}(u)\cos(u). Assim
\frac{d}{dy}\bigl[\operatorname{sen}^{3}(u(y))\bigr]=3\operatorname{sen}^{2}\bigl(u(y)\bigr)\cos\bigl(u(y)\bigr)\cdot u'(y).
Calculamos u'(y):
u(y)=2y^{2}-y+1 \quad\Rightarrow\quad u'(y)=4y-1.

Passo 5

Substituindo tudo, obtemos a forma geral de \frac{\partial F}{\partial y}:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=3x(4y-1)\operatorname{sen}^{2}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr)\cos\bigl(2y^{2}-y+1\bigr) + g'(y).
Observação importante: g'(y) é uma função que depende somente de y. Logo, qualquer expressão que possa ser \frac{\partial F}{\partial y} deve ter:
  1. Um termo que seja exatamente 3x(4y-1)\operatorname{sen}^{2}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr)\cos\bigl(2y^{2}-y+1\bigr) (o termo vindo da derivada do x\cdot\operatorname{sen}^{3}(\cdot)), e
  2. Um termo adicional que dependa apenas de y (correspondendo a g'(y)).

Passo 6

Vamos comparar com as opções:
  • (a) tem o fator 3x(4y-1) e um termo trigonométrico parecido, mas o argumento é 2y^{2}-y+3 em vez de 2y^{2}-y+1, portanto não coincide.
  • (b) tem 3x^{2}(4y-1) (tem x^{2}, não x) e argumento +3; está incompatível.
  • (c) argumento com +4; incompatível.
  • (d) tem 3(4y-1)\operatorname{sen}^{2}(2y^{2}-y+1)\cos(2y^{2}-y+1) mas falta o fator x — ou seja, não tem o termo proporcional a x que precisamos.
  • (e) argumento com +4; incompatível.
  • (f) é
3x(4y-1)\operatorname{sen}^{2}\bigl(2y^{2}-y+1\bigr)\cos\bigl(2y^{2}-y+1\bigr)+\operatorname{sen}\bigl(y^{2}+2y-2\bigr).
Aqui o primeiro termo bate exatamente com o que deduzimos. O segundo termo depende somente de y, então ele pode ser g'(y) para alguma função g. Portanto (f) tem a forma exata
\text{(termo necessário em }x\text{)} + \text{(função só de }y\text{)},áçãó
ou seja, é compatível.

Passo 7

Conclusão lógica: entre todas as opções, somente a opção (f) tem o termo proporcional a x com argumento 2y^{2}-y+1 correto e um termo extra que depende apenas de y. Assim (f) é a única que pode ser \frac{\partial F}{\partial y} compatível com a informação dada.

Resposta

(f)

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