Assinale a única alternativa correta: A derivada da função y=x \sqrt{a+b x}.
a) \frac{d y}{d x}=\frac{2 a+3 b x}{2 \sqrt{a+b x}}
b) \frac{d y}{d x}=\frac{2 a b x+5 b x}{a+b x}
c) \frac{d y}{d x}=\frac{2 \sqrt[\frac{2}{3}]{b x}}{2 a^{2}+3 x}
d) \frac{d y}{d x}=\frac{a+3 b x}{\sqrt{a+b x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y=x\sqrt{a+b x}. Informações do enunciado:
  • A função dada é y=x\sqrt{a+b x}.
  • As letras a e b são constantes (parâmetros) e x é a variável.
  • A tarefa é encontrar \dfrac{d y}{d x} e escolher a única alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a função numa forma mais conveniente para derivar, transformando a raiz em potência. Temos:
y=x\sqrt{a+b x}=x(a+b x)^{1/2}.
Aqui x é um fator e (a+bx)^{1/2} é outro fator — é um produto de duas funções de x.

Passo 3

Como se trata de um produto, usamos a regra do produto. Vou explicá-la de forma direta: se \;y=u(x)\,v(x), então
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo. Aqui escolhemos u(x)=x e v(x)=(a+bx)^{1/2}. Então u'(x)=1.

Passo 4

Precisamos da derivada de v(x)=(a+bx)^{1/2}. Para isso usamos a regra da cadeia: se v(x)=f(g(x)) então v'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aplicando com f(t)=t^{1/2} e g(x)=a+bx:
f'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2},\qquad g'(x)=b.
Portanto
v'(x)=\tfrac{1}{2}(a+bx)^{-1/2}\cdot b=\frac{b}{2\,(a+bx)^{1/2}}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto: usando u'(x)=1, v(x)=(a+bx)^{1/2} e v'(x)=\dfrac{b}{2\,(a+bx)^{1/2}},
\frac{dy}{dx}=(1)\cdot (a+bx)^{1/2}+x\cdot\frac{b}{2\,(a+bx)^{1/2}}.
Vamos simplificar somando as frações com denominador comum 2\,(a+bx)^{1/2}. Escrevendo o primeiro termo como fração:
(a+bx)^{1/2}=\frac{2(a+bx)}{2\,(a+bx)^{1/2}}.
Somando os termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{2(a+bx)}{2\,(a+bx)^{1/2}}+\frac{b x}{2\,(a+bx)^{1/2}} =\frac{2(a+bx)+b x}{2\,(a+bx)^{1/2}}.
Agora expandir e combinar termos no numerador:
2(a+bx)+b x=2a+2bx+bx=2a+3bx.
Logo a forma simplificada é
\frac{dy}{dx}=\frac{2a+3b x}{2\,(a+bx)^{1/2}}.

Passo 6

Interpretando o resultado em termos das alternativas fornecidas, a expressão acima corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

(a) \dfrac{2 a+3 b x}{2 \sqrt{a+b x}}

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