Assinale a única alternativa correta: A derivada da função
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
. Informações do enunciado:
- A função dada é
. - As letras
e são constantes (parâmetros) e é a variável. - A tarefa é encontrar
e escolher a única alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a função numa forma mais conveniente para derivar, transformando a raiz em potência. Temos:
Aqui
é um fator e
é outro fator — é um produto de duas funções de
.
Passo 3
Como se trata de um produto, usamos a regra do produto. Vou explicá-la de forma direta: se
, então
Isto significa: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo. Aqui escolhemos
e
. Então
.
Passo 4
Precisamos da derivada de
. Para isso usamos a regra da cadeia: se
então
.
Aplicando com e
:
Aplicando com
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto: usando
,
e
,
Vamos simplificar somando as frações com denominador comum
. Escrevendo o primeiro termo como fração:
Somando os termos:
Agora expandir e combinar termos no numerador:
Logo a forma simplificada é
Passo 6
Interpretando o resultado em termos das alternativas fornecidas, a expressão acima corresponde exatamente à alternativa (a).
Resposta
(a)