Se f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é 2 L-periódica e integrável em [-L, L], então
\int_{-L}^{L} f(x) d x=\int_{0}^{2 L} f(x) d x
Em geral,
\int_{x_{0}-L}^{x_{0}+L} f(x) d x=\int_{-L}^{L} f(x) d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é 2L-periódica, ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale f(x+2L)=f(x).
    • f é integrável em [-L,L].
  • O enunciado pede para provar duas igualdades:
    1. \displaystyle \int_{-L}^{L} f(x)\,dx = \int_{0}^{2L} f(x)\,dx.
    2. Em geral, para qualquer x_{0}\in\mathbb{R}, \displaystyle \int_{x_{0}-L}^{x_{0}+L} f(x)\,dx = \int_{-L}^{L} f(x)\,dx.

Passo 2

Relembrando propriedades básicas de integrais (explicação didática):
  • A integral definida é aditiva por intervalos: se a<b<c, então \int_{a}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx.Isso é usado para quebrar um intervalo em dois pedaços e somar as integrais.
  • Mudança de variável simples: se u(x)=x + \text{const} e x varia em [A,B], então ao fazer a substituição t=x-\text{const} troca-se os limites de integração de forma apropriada. Ex.: \int_{A}^{B} f(x)\,dx = \int_{A-\text{const}}^{B-\text{const}} f(t+\text{const})\,dt.
Vou usar essas propriedades junto com a periodicidade f(x+2L)=f(x).

Passo 3

Provar que a integral de f em qualquer intervalo de comprimento 2L é a mesma que em [0,2L].
Sejam quaisquer a\in\mathbb{R}. Considero o intervalo [a,a+2L]. Se a já estiver no segmento [0,2L) faço o cálculo direto; se não, reduzo a módulo 2L (usando periodicidade) — a ideia é a mesma em todos os casos. Primeiro faço a demonstração para a\in[0,2L):
Use a aditividade para escrever
\int_{a}^{a+2L} f(x)\,dx = \int_{a}^{2L} f(x)\,dx + \int_{2L}^{a+2L} f(x)\,dx.
Na segunda integral faço a mudança de variável u=x-2L. Quando x vai de 2L a a+2L, u vai de 0 a a. E pela periodicidade, para todo x,
f(x)=f(x-2L).
Logo
\int_{2L}^{a+2L} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(u+2L)\,du = \int_{0}^{a} f(u)\,du.
Substituindo de volta:
\int_{a}^{a+2L} f(x)\,dx = \int_{a}^{2L} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{2L} f(x)\,dx.
Portanto, para todo a\in[0,2L) temos \displaystyle \int_{a}^{a+2L} f = \int_{0}^{2L} f.
Se a\notin[0,2L), escreva a = a_0 + 2kL com a_0\in[0,2L) e k\in\mathbb{Z}. Então, pela periodicidade,
\int_{a}^{a+2L} f(x)\,dx = \int_{a_0+2kL}^{a_0+2(k+1)L} f(x)\,dx = \int_{a_0}^{a_0+2L} f(x-2kL)\,dx = \int_{a_0}^{a_0+2L} f(x)\,dx,
e já mostramos que este último é \int_{0}^{2L} f. Assim, para todo a\in\mathbb{R},
\int_{a}^{a+2L} f(x)\,dx = \int_{0}^{2L} f(x)\,dx.

Passo 4

Aplicar o resultado do passo anterior para obter a primeira igualdade pedida.
Escolho a=-L. Então, pelo resultado do passo anterior,
\int_{-L}^{-L+2L} f(x)\,dx = \int_{0}^{2L} f(x)\,dx.
Mas -L+2L = L, logo a igualdade é
\int_{-L}^{L} f(x)\,dx = \int_{0}^{2L} f(x)\,dx,
que é exatamente a primeira afirmação do enunciado.

Passo 5

Agora obtenho a igualdade geral para qualquer x_{0}.
Observe que o intervalo [x_{0}-L,x_{0}+L] tem comprimento 2L. Pelo que foi provado no passo 3, a integral de f sobre qualquer intervalo de comprimento 2L é igual a \int_{0}^{2L} f. Em particular,
\int_{x_{0}-L}^{x_{0}+L} f(x)\,dx = \int_{0}^{2L} f(x)\,dx.
Usando a igualdade já obtida no passo 4 entre \int_{-L}^{L} f e \int_{0}^{2L} f, conclui-se
\int_{x_{0}-L}^{x_{0}+L} f(x)\,dx = \int_{-L}^{L} f(x)\,dx,
valendo para qualquer x_{0}\in\mathbb{R}.

Passo 6

Resumo rápido do que foi usado (para fixar o raciocínio):
  • Quebrei intervalos usando a aditividade da integral.
  • Usei a substituição x\mapsto x-2L nas integrais que cobriam uma faixa deslocada em 2L.
  • A periodicidade f(x+2L)=f(x) permitiu trocar f(x) por f(x-2L) quando necessário, igualando integrais em intervalos deslocados por 2L.
  • Com isso mostrei que qualquer integral em um intervalo de comprimento 2L tem o mesmo valor, e daí seguem as duas igualdades pedidas.

Resposta

\displaystyle \int_{-L}^{L} f(x)\,dx=\int_{0}^{2L} f(x)\,dx
\displaystyle \int_{x_{0}-L}^{x_{0}+L} f(x)\,dx=\int_{-L}^{L} f(x)\,dx

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