Se
é
-periódica e integrável em
, então
Em geral,
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados que peguei do enunciado:
-
é -periódica, ou seja, para todo vale -
é integrável em .
-
- O enunciado pede para provar duas igualdades:
-
. - Em geral, para qualquer
,
-
Passo 2
Relembrando propriedades básicas de integrais (explicação didática):
- A integral definida é aditiva por intervalos: se
, então Isso é usado para quebrar um intervalo em dois pedaços e somar as integrais. - Mudança de variável simples: se
e varia em , então ao fazer a substituição troca-se os limites de integração de forma apropriada. Ex.: .
Vou usar essas propriedades junto com a periodicidade
.
Passo 3
Provar que a integral de
em qualquer intervalo de comprimento
é a mesma que em
.
Sejam quaisquer
. Considero o intervalo
. Se
já estiver no segmento
faço o cálculo direto; se não, reduzo
módulo
(usando periodicidade) — a ideia é a mesma em todos os casos. Primeiro faço a demonstração para
:
Use a aditividade para escrever
Na segunda integral faço a mudança de variável
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. E pela periodicidade, para todo
,
Logo
Substituindo de volta:
Portanto, para todo
temos
.
Se
, escreva
com
e
. Então, pela periodicidade,
e já mostramos que este último é
. Assim, para todo
,
Passo 4
Aplicar o resultado do passo anterior para obter a primeira igualdade pedida.
Escolho
. Então, pelo resultado do passo anterior,
Mas
, logo a igualdade é
que é exatamente a primeira afirmação do enunciado.
Passo 5
Agora obtenho a igualdade geral para qualquer
.
Observe que o intervalo
tem comprimento
. Pelo que foi provado no passo 3, a integral de
sobre qualquer intervalo de comprimento
é igual a
. Em particular,
Usando a igualdade já obtida no passo 4 entre
e
, conclui-se
valendo para qualquer
.
Passo 6
Resumo rápido do que foi usado (para fixar o raciocínio):
- Quebrei intervalos usando a aditividade da integral.
- Usei a substituição
nas integrais que cobriam uma faixa deslocada em . - A periodicidade
permitiu trocar por quando necessário, igualando integrais em intervalos deslocados por . - Com isso mostrei que qualquer integral em um intervalo de comprimento
tem o mesmo valor, e daí seguem as duas igualdades pedidas.