Considere a função f definida por f(z)=\frac{5 z+1}{z^{2}+z-2}, para todo z \in \operatorname{Dom}(f).
(a) Determine constantes A, B \in \mathbb{C} tais que f(z)=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+2}.
(b) Determine a série de MacLaurin de f(z) e o raio de convergência da mesma.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(z)=\frac{5z+1}{z^{2}+z-2},
definida para todo z em \operatorname{Dom}(f) (ou seja, para z que não anulam o denominador). O problema pede duas coisas:
(a) Encontrar constantes A,B\in\mathbb{C} tais que
f(z)=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+2}.
(b) Determinar a série de MacLaurin de f(z) (serie em torno de 0) e o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas / observadas:
  • O denominador fatoriza como (z-1)(z+2), logo z=1 e z=-2 são singularidades (pontos fora do domínio).
  • A expansão em série de MacLaurin será válida numa bola centrada em 0 cujo raio é, no máximo, a distância até a singularidade mais próxima de 0.

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações simples (partial fractions). Partimos da igualdade desejada e multiplicamos ambos os lados por (z-1)(z+2) (válido como identidade de funções racionais):
5z+1 = A(z+2) + B(z-1).
Isto é uma identidade polinomial em z, válida para todo z. Para encontrar A e B podemos comparar coeficientes de z e do termo constante, ou usar valores específicos de z. Vou usar comparação de coeficientes.
Escrevendo o lado direito:
A(z+2)+B(z-1) = (A+B)z + (2A - B).
Comparando com o lado esquerdo 5z+1 obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} A+B = 5,\\[4pt] 2A - B = 1. \end{cases}]

Passo 3

Resolvendo o sistema:
somando as duas equações temos 3A = 6, portanto
A = 2.
Substituindo em A+B=5 vem
B = 5 - A = 5 - 2 = 3.
Logo a decomposição é
f(z)=\frac{2}{z-1}+\frac{3}{z+2}.
Fazendo uma checagem rápida: 2(z+2)+3(z-1)=2z+4+3z-3=5z+1, confere.

Passo 4

Agora vamos obter a série de MacLaurin (expansão em potências de z centrada em 0). A ideia é expandir cada parcela em série geométrica adequada.
Recorde útil (fórmula do série geométrica):
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty} w^{n}\quad\text{para }|w|<1,
e também
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}u^{n}\quad\text{para }|u|<1.
Transformamos cada termo de f:
  • Para \dfrac{2}{z-1}: escrevemos \dfrac{1}{z-1}=-\dfrac{1}{1-z}. Assim
\frac{2}{z-1} = -2\cdot\frac{1}{1-z} = -2\sum_{n=0}^{\infty} z^{n},
essa expansão é válida para |z|<1 (pois usamos w=z na série geométrica).
  • Para \dfrac{3}{z+2}: escrevemos \dfrac{1}{z+2}=\dfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+z/2}. Logo, com u=z/2,
\frac{3}{z+2} = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1+z/2} = \frac{3}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{z}{2}\right)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{3(-1)^{n}}{2^{\,n+1}}\,z^{n},
essa expansão é válida para |z/2|<1, isto é, para |z|<2.

Passo 5

Agora somamos as duas séries (a convergência conjunta será determinada pelo intervalo comum onde ambas séries convergem). Somando termo a termo:
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-2\right)z^{n} \;+\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{3(-1)^{n}}{2^{\,n+1}}\,z^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(-2+\frac{3(-1)^{n}}{2^{\,n+1}}\right)z^{n}.
A região de validade é a interseção das regiões de validade das duas séries individuais: |z|<1 e |z|<2. A interseção é |z|<1. Portanto o raio de convergência da série de MacLaurin é R=1. (Isto também pode ser visto pelo fato de que o raio de convergência de uma série de Taylor centrada em 0 para uma função meromorfa é a distância até a singularidade mais próxima de 0; as singularidades estão em z=1 e z=-2, distâncias 1 e 2, então R=\min(1,2)=1.)
Para ficar mais concreto, os primeiros coeficientes são:
c_{n}=-2+\frac{3(-1)^{n}}{2^{\,n+1}},
então
f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots
com, por exemplo,
c_{0}=-2+\frac{3}{2}=-\tfrac{1}{2},\qquad c_{1}=-2-\frac{3}{4}=-\tfrac{11}{4},\qquad c_{2}=-2+\frac{3}{8}=-\tfrac{13}{8},\\ \ldots

Resposta

(a) A=2,\; B=3.
(b) \displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-2+\frac{3(-1)^{n}}{2^{\,n+1}}\right)z^{n},\quad\text{para }|z|<1.
Raio de convergência: R=1.

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