Considere a função
definida por
, para todo
.
(a) Determine constantes
tais que
.
(b) Determine a série de MacLaurin de
e o raio de convergência da mesma.
(a) Determine constantes
(b) Determine a série de MacLaurin de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida para todo
em
(ou seja, para
que não anulam o denominador). O problema pede duas coisas:
(a) Encontrar constantes tais que
(a) Encontrar constantes
(b) Determinar a série de MacLaurin de
(serie em torno de
) e o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes dadas / observadas:
- O denominador fatoriza como
, logo e são singularidades (pontos fora do domínio). - A expansão em série de MacLaurin será válida numa bola centrada em
cujo raio é, no máximo, a distância até a singularidade mais próxima de .
Passo 2
Vamos fazer a decomposição em frações simples (partial fractions). Partimos da igualdade desejada e multiplicamos ambos os lados por
(válido como identidade de funções racionais):
Isto é uma identidade polinomial em
, válida para todo
. Para encontrar
e
podemos comparar coeficientes de
e do termo constante, ou usar valores específicos de
. Vou usar comparação de coeficientes.
Escrevendo o lado direito:
Comparando com o lado esquerdo
obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 3
Resolvendo o sistema:
somando as duas equações temos , portanto
somando as duas equações temos
Substituindo em
vem
Logo a decomposição é
Fazendo uma checagem rápida:
, confere.
Passo 4
Agora vamos obter a série de MacLaurin (expansão em potências de
centrada em
). A ideia é expandir cada parcela em série geométrica adequada.
Recorde útil (fórmula do série geométrica):
e também
Transformamos cada termo de
:
- Para
: escrevemos . Assim
essa expansão é válida para
(pois usamos
na série geométrica).
- Para
: escrevemos . Logo, com ,
essa expansão é válida para
, isto é, para
.
Passo 5
Agora somamos as duas séries (a convergência conjunta será determinada pelo intervalo comum onde ambas séries convergem). Somando termo a termo:
A região de validade é a interseção das regiões de validade das duas séries individuais:
e
. A interseção é
. Portanto o raio de convergência da série de MacLaurin é
. (Isto também pode ser visto pelo fato de que o raio de convergência de uma série de Taylor centrada em
para uma função meromorfa é a distância até a singularidade mais próxima de
; as singularidades estão em
e
, distâncias
e
, então
.)
Para ficar mais concreto, os primeiros coeficientes são:
então
com, por exemplo,
Resposta
(a)
(b)
Raio de convergência:
(b)
Raio de convergência: