Nos itens a seguir, esboce o gráfico da função dada em três períodos e encontre sua série de Fourier.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & -2 \leq x<0, \\\\ 0, & 0 \leq x<2,\end{array} \quad f(x+4)=f(x)\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico de [f) em três períodos.
  • Encontrar a série de Fourier de f.
As informações dadas:
  • A função é periódica com período 4: f(x+4)=f(x).
  • Num período fundamental escolhido [-2,2) a função vale f(x)=\begin{cases} 1, & -2\le x<0,\\[4pt] 0, & 0\le x<2. \end{cases}
  • Portanto cada período tem comprimento T=4\]. O intervalo \([-2,2) é um período completo (podemos tomar L=2 numa formulação padrão de série de Fourier com período 2L).
O que preciso entregar: um esboço que mostre três períodos consecutivos (por exemplo no intervalo [-6,6], que tem comprimento 12=3\cdot4) e a série de Fourier que representa f.]

Passo 2

Escolha do método e fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples).
  • Vou usar a série de Fourier para funções de período 2L com L=2. A fórmula geral (padrão) é: f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right).Aqui:
    • L é metade do período. No nosso caso L=2 porque o período T=4=2L.
    • a_0, a_n, b_n são os coeficientes dados por:
    a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
  • Explicação rápida do que cada coeficiente significa:
    • \dfrac{a_0}{2} é a média (valor DC) da função no período.
    • a_n mede a contribuição das componentes cossenoidais de frequência n.
    • b_n mede a contribuição das componentes senoides de frequência n.
Vou calcular a_0, a_n e b_n usando que f só é diferente de zero no subintervalo [-2,0).

Passo 3

Cálculo de a_0 (a média no período).
  • Pela definição com L=2: a_0=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\,dx.
  • Como f(x)=1 em [-2,0) e f(x)=0 em [0,2), a integral é simplesmente a medida do subintervalo onde f=1, que tem comprimento 2: \int_{-2}^{2} f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}1\,dx+ \int_{0}^{2}0\,dx = 2.
  • Portanto a_0=\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
  • Isso implica que o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}. Interpretando: o valor médio de f é 1/2.

Passo 4

Cálculo dos coeficientes a_n (componentes cossenoidais).
  • Fórmula: a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
  • Como f só é 1 em [-2,0), troco o domínio: a_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
  • Calculo da integral. Seja k=\dfrac{n\pi}{2}. Então \int_{-2}^{0}\cos(kx)\,dx=\left[\frac{\sin(kx)}{k}\right]_{x=-2}^{0}=\frac{1}{k}\big(\sin(0)-\sin(-2k)\big).Mas \sin(0)=0 e \sin(-2k)=-\sin(2k). Como 2k = n\pi, temos \sin(2k)=\sin(n\pi)=0. Logo a integral vale 0.
  • Portanto para todo n\ge1 a_n=0.
  • Interpretação: não há termos cossenoidais — a série terá apenas termos senoidais além da média.

Passo 5

Cálculo dos coeficientes b_n (componentes senoides).
  • Fórmula: b_n=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx =\frac{1}{2}\int_{-2}^{0}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
  • Novamente, com k=\dfrac{n\pi}{2}, \int_{-2}^{0}\sin(kx)\,dx=\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{x=-2}^{0}=-\frac{1}{k}\big(\cos(0)-\cos(-2k)\big).Usando \cos(0)=1 e \cos(-2k)=\cos(2k)=\cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos \int_{-2}^{0}\sin(kx)\,dx=-\frac{1}{k}\big(1-(-1)^n\big).
  • Substituindo k=\dfrac{n\pi}{2} e multiplicando por \dfrac{1}{2} (fator da definição de b_n): b_n=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{k}\big(1-(-1)^n\big)\right) =-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big) =-\frac{1}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big).
  • Simplificando conforme paridade de n:
    • Se n é par, (-1)^n=1, então b_n=0.
    • Se n é ímpar, (-1)^n=-1, então b_n=-\frac{1}{n\pi}\big(1-(-1)\big)=-\frac{1}{n\pi}\cdot 2=-\frac{2}{n\pi}.
  • Resumo compacto: b_n=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par},\\[4pt] -\dfrac{2}{n\pi}, & n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

Passo 6

Montagem da série de Fourier e observações sobre convergência.
  • Como a_n=0 para todo n e a_0=1, a série fica f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right).
  • Substituindo a expressão de b_n e lembrando que só termos com n ímpar contribuem, escrevo com índice m tal que n=2m-1 ( m=1,2,\dots): f(x)=\frac{1}{2}-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2}{(2m-1)\pi}\sin\!\left(\frac{(2m-1)\pi x}{2}\right).(coloquei sinal negativo já que b_{2m-1}=-\dfrac{2}{(2m-1)\pi}.)
  • Observação sobre convergência: onde f é contínua, a série converge para f(x). Nos pontos de descontinuidade (por exemplo x=0, \pm2, \pm4,\dots) a série converge para a média dos limites laterais, que aqui é \dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}. Isso é compatível com o termo constante \dfrac{1}{2} e com o fato clássico do teorema de Dirichlet para séries de Fourier.
  • Interpretação física: essa série representa uma onda quadrada periódica com metade do período em nível alto ( 1) e metade em zero, deslocada/centralizada no intervalo [-2,2).

Passo 7

Como esboçar o gráfico em três períodos (instruções para desenhar, passo a passo).
  • Escolha o intervalo [-6,6] (comprimento 12 = 3\cdot 4), que contém três períodos consecutivos: [-6,-2), [-2,2), [2,6).
  • Em cada período a função vale: f(x)=1\quad\text{para }[4k-2,\;4k)\quad\text{e}\quad f(x)=0\quad\text{para }[4k,\;4k+2),onde k é um número inteiro (por exemplo k=-1,0,1 para os três períodos em [-6,6]).
  • Pontos importantes para marcar no eixo x: -6,-4,-2,0,2,4,6.
  • Desenho: em cada subintervalo de comprimento 2 que começa em um ponto 4k-2 desenhe uma linha horizontal em y=1. No subintervalo seguinte de comprimento 2 desenhe uma linha horizontal em y=0. Nas fronteiras (por exemplo x=-2,0,2) indique a descontinuidade: tipicamente desenha-se um círculo fechado no valor à esquerda (por convenção do enunciado f está definido como 1 em -2\le x<0, então em x=-2 o ponto y=1 é fechado; em x=0 o valor é dado por regra 0 no intervalo 0\le x<2, então em x=0 o ponto y=0 é fechado e no y=1 em x=0 coloca-se um círculo aberto).
  • Assim obtém-se três “blocos” por período: bloco alto ( 1) seguido de bloco baixo ( 0), repetidos três vezes de [-6,6].

Resposta

Esboço do gráfico em três períodos: no intervalo [-6,6] (três períodos de comprimento 4) a função vale 1 em [4k-2,4k) e 0 em [4k,4k+2) para k=-1,0,1; marque descontinuidades em x=-4,-2,0,2,4 e desenhe blocos horizontais em y=1 e y=0 conforme esses subintervalos.
f(x)=\frac{1}{2}-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2}{(2m-1)\pi}\,\sin\!\left(\frac{(2m-1)\pi x}{2}\right).

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