Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Uma transformação linear
tal que
é sobrejetora.
( ) Uma transformação linear
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e informa que
. A pergunta é: essa transformação é sobrejetora?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Espaço domínio:
, portanto . - Espaço contradomínio:
, portanto . -
.
O que se pede: decidir seé sobrejetora (isto é, se ) e justificar com cálculos e teoria.
Passo 2
Lembrete teórico fundamental (Teorema da Dimensão / Teorema do Núcleo e da Imagem): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
Explicando cada termo:
-
é a dimensão do espaço de partida (aqui ). -
é o número de graus de liberdade das soluções de (o “núcleo”). -
(também chamado posto ou rank) é a dimensão do subespaço imagem, ou seja, quantas direções independentes os vetores ocupam no contradomínio.
Também: para queseja sobrejetora é necessário e suficiente que , o que em termos de dimensão exige .
Passo 3
Aplicando o teorema da dimensão ao caso concreto:
Substituindo os valores conhecidos:
Isolando
obtém-se
Passo 4
Interpretação do resultado:
é um subespaço de
de dimensão
. Mas
tem dimensão
. Portanto
não pode ser igual a
(um subespaço próprio de dimensão
não é todo o espaço de dimensão
). Logo
não é sobrejetora.
Passo 5
Exemplo concreto que ilustra o caso (para fixar a ideia): defina
- O núcleo é
, que tem dimensão (base por exemplo ). Logo . - A imagem é
, que tem dimensão . Não contém, por exemplo, , então não é todo . Portanto essa satisfaz o dado do enunciado e não é sobrejetora, confirmando a conclusão teórica anterior.
Resposta
(F)