Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Uma transformação linear \mathbf{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} tal que \operatorname{dim} \operatorname{Ker}(\mathbf{T})=2 é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear \mathbf{T}: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} e informa que \dim\ker(\mathbf{T})=2. A pergunta é: essa transformação é sobrejetora?
Informações relevantes fornecidas:
  • Espaço domínio: \mathbb{R}^{3}, portanto \dim(\mathbb{R}^{3})=3.
  • Espaço contradomínio: \mathbb{R}^{2}, portanto \dim(\mathbb{R}^{2})=2.
  • \dim\ker(\mathbf{T})=2.
    O que se pede: decidir se \mathbf{T} é sobrejetora (isto é, se \operatorname{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^{2}) e justificar com cálculos e teoria.

Passo 2

Lembrete teórico fundamental (Teorema da Dimensão / Teorema do Núcleo e da Imagem): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
\dim(\text{domínio})=\dim\ker(\mathbf{T})+\dim\operatorname{Im}(\mathbf{T}).í
Explicando cada termo:
  • \dim(\text{domínio})í é a dimensão do espaço de partida (aqui \dim(\mathbb{R}^{3})=3).
  • \dim\ker(\mathbf{T}) é o número de graus de liberdade das soluções de \mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{0} (o “núcleo”).
  • \dim\operatorname{Im}(\mathbf{T}) (também chamado posto ou rank) é a dimensão do subespaço imagem, ou seja, quantas direções independentes os vetores \mathbf{T}(\mathbf{x}) ocupam no contradomínio.
    Também: para que \mathbf{T} seja sobrejetora é necessário e suficiente que \operatorname{Im}(\mathbf{T})=\mathbb{R}^{2}, o que em termos de dimensão exige \dim\operatorname{Im}(\mathbf{T})=\dim(\mathbb{R}^{2})=2.

Passo 3

Aplicando o teorema da dimensão ao caso concreto:
\dim(\mathbb{R}^{3})=\dim\ker(\mathbf{T})+\dim\operatorname{Im}(\mathbf{T}).
Substituindo os valores conhecidos:
3 = 2 + \dim\operatorname{Im}(\mathbf{T}).
Isolando \dim\operatorname{Im}(\mathbf{T}) obtém-se
\dim\operatorname{Im}(\mathbf{T}) = 3-2 = 1.

Passo 4

Interpretação do resultado: \operatorname{Im}(\mathbf{T}) é um subespaço de \mathbb{R}^{2} de dimensão 1. Mas \mathbb{R}^{2} tem dimensão 2. Portanto \operatorname{Im}(\mathbf{T}) não pode ser igual a \mathbb{R}^{2} (um subespaço próprio de dimensão 1 não é todo o espaço de dimensão 2). Logo \mathbf{T} não é sobrejetora.

Passo 5

Exemplo concreto que ilustra o caso (para fixar a ideia): defina
\mathbf{T}(x,y,z)=(x,0)\quad\text{para }(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
  • O núcleo é \{(0,y,z)\mid y,z\in\mathbb{R}\}, que tem dimensão 2 (base por exemplo (0,1,0),(0,0,1)). Logo \dim\ker(\mathbf{T})=2.
  • A imagem é \{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,0)\}, que tem dimensão 1. Não contém, por exemplo, (0,1), então não é todo \mathbb{R}^{2}. Portanto essa \mathbf{T} satisfaz o dado do enunciado e não é sobrejetora, confirmando a conclusão teórica anterior.

Resposta

(F)

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