Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Com relação ao produto interno
, definido sobre
o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , os polinômios
e
não são ortogonais.
( ) Com relação ao produto interno
Passo 1
O enunciado nos dá o produto interno
definido em
e os polinômios
e
.
A afirmação a verificar é: “os polinômios e
não são ortogonais”.
O que o enunciado pede: decidir se essa afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar com cálculos e argumentos teóricos.
A afirmação a verificar é: “os polinômios
O que o enunciado pede: decidir se essa afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar com cálculos e argumentos teóricos.
Passo 2
Relembrando o conceito que vamos usar (explicação didática): Dois vetores (aqui polinômios) são ortogonais relativamente a um produto interno se, e somente se, o produto interno entre eles for zero. Ou seja,
e
são ortogonais sse
No nosso caso calculemos explicitamente
Passo 3
Façamos a expansão do integrando (passo algébrico simples):
Portanto
Aqui usamos a propriedade linear da integral: a integral da diferença é a diferença das integrais.
Passo 4
Agora avaliamos as duas integrais separadamente. Primeiro uma observação útil sobre paridade (aula curta e prática): uma função
é par se
e ímpar se
. A integral de uma função ímpar em
é zero; a integral de uma função par em
é duas vezes a integral de
a
.
-
é função par, logo . -
é função ímpar, logo .
Também podemos calcular por antiderivadas para ilustrar: a fórmula básica é
para
.
Usando antiderivadas:
Usando antiderivadas:
confirmando a observação pela paridade.
Passo 5
Substituindo os resultados:
Como
, concluímos que
e
não são ortogonais em relação ao produto interno dado. Portanto a afirmativa do enunciado (“os polinômios
e
não são ortogonais”) é verdadeira.
Resposta
(V)