Assinale (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas, justificando sua escolha através de cálculos e justificativas teóricas coerentes.
( ) Com relação ao produto interno \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\int_{-1}^{1} \mathbf{u}(x) \mathbf{v}(x) d x, definido sobre \mathbf{V}=\mathcal{P}_{3}(\Re) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , os polinômios u(x)=x e v(x)=x^{3}-x^{2} não são ortogonais.

Passo 1

O enunciado nos dá o produto interno
\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\int_{-1}^{1} \mathbf{u}(x)\,\mathbf{v}(x)\,dx
definido em \mathbf{V}=\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) e os polinômios
\\ u(x)=x\ e \\ v(x)=x^{3}-x^{2}.
A afirmação a verificar é: “os polinômios u(x) e v(x) não são ortogonais”.
O que o enunciado pede: decidir se essa afirmativa é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar com cálculos e argumentos teóricos.

Passo 2

Relembrando o conceito que vamos usar (explicação didática): Dois vetores (aqui polinômios) são ortogonais relativamente a um produto interno se, e somente se, o produto interno entre eles for zero. Ou seja, u e v são ortogonais sse
\langle u,v\rangle = 0.
No nosso caso calculemos explicitamente
\langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1} u(x)\,v(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Façamos a expansão do integrando (passo algébrico simples):
x\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)=x^{4}-x^{3}.
Portanto
\langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1}\bigl(x^{4}-x^{3}\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx-\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx.
Aqui usamos a propriedade linear da integral: a integral da diferença é a diferença das integrais.

Passo 4

Agora avaliamos as duas integrais separadamente. Primeiro uma observação útil sobre paridade (aula curta e prática): uma função f é par se f(-x)=f(x) e ímpar se f(-x)=-f(x). A integral de uma função ímpar em [-a,a] é zero; a integral de uma função par em [-a,a] é duas vezes a integral de 0 a a.
  • x^{4} é função par, logo \int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=2\int_{0}^{1}x^{4}\,dx.
  • x^{3} é função ímpar, logo \int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0.
Também podemos calcular por antiderivadas para ilustrar: a fórmula básica é \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Usando antiderivadas:
\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=\left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1}=\dfrac{1^{5}-(-1)^{5}}{5}=\dfrac{1-(-1)}{5}=\dfrac{2}{5}.
\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1}=\dfrac{1^{4}-(-1)^{4}}{4}=\dfrac{1-1}{4}=0,
confirmando a observação pela paridade.

Passo 5

Substituindo os resultados:
\langle u,v\rangle=\dfrac{2}{5}-0=\dfrac{2}{5}.
Como \dfrac{2}{5}\neq 0, concluímos que u e v não são ortogonais em relação ao produto interno dado. Portanto a afirmativa do enunciado (“os polinômios u(x) e v(x) não são ortogonais”) é verdadeira.

Resposta

(V)

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