Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} converge e a_{n}>0, \forall n \in \mathbb{N}, então \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt{a_{n}} converge.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} são divergentes, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} b_{n}\right) é divergente.
( ) Seja \left(S_{n}\right) a sequência de somas parciais de a_{n}. Se \left(S_{n}\right) é convergente, então \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}= 0.
( ) Suponha que a_{n}>0, \forall n \in \mathbb{N} e que \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=1, então \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.
( ) Sejam p(x) e q(x) polinômios com coeficientes inteiros em x, com q(n) \neq 0. Se o grau de p for menor que de q, então \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{p(n)}{q(n)} converge.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras ou falsas e justificar cada resposta. O conteúdo envolve convergência de séries de termos positivos, comparação assintótica de termos, o teste do termo geral (necessidade de a_n\to0) e o comportamento de séries do tipo racional \sum p(n)/q(n). Vamos usar contraexemplos e resultados padrão de séries p-séries e do teste do termo geral.

Passo 2

Afirmação 1: “Se \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} converge e a_{n}>0, então \sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt{a_{n}} converge.”
Contraexemplo: tome a_{n}=1/n^{2}. Então \sum a_{n}=\sum1/n^{2} converge (é uma p-série com p=2>1), mas \sqrt{a_{n}}=1/n e \sum1/n diverge (é a série harmônica). Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se \sum a_{n} e \sum b_{n} são divergentes, então \sum(a_{n}b_{n}) é divergente.”
Contraexemplo: tome a_{n}=1/n e b_{n}=1/n. Ambas as séries \sum1/n divergem, mas a_{n}b_{n}=1/n^{2} e \sum1/n^{2} converge. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Seja (S_{n}) a sequência de somas parciais de a_{n}. Se (S_{n}) é convergente, então \lim_{n\to+\infty}a_{n}=0.”
Isto é exatamente o teste do termo geral: a convergência de \sum a_{n} implica necessariamente que a_{n}\to0. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “Suponha a_{n}>0 e \lim_{n\to+\infty}a_{n}=1, então \sum a_{n} diverge.”
Pelo teste do termo geral, se \lim a_{n}\neq0 a série inexoravelmente diverge. Como aqui \lim a_{n}=1\neq0, a série diverge. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

Afirmação 5: “Sejam p(x) e q(x) polinômios com \deg p<\deg q. Então \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{p(n)}{q(n)} converge.”
Quando \deg q=\deg p+1, \frac{p(n)}{q(n)}\sim C/n e a série comporta-se como a harmônica, que diverge. Por exemplo, p(x)=1, q(x)=x: \sum1/n diverge. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(F)
(F)
(V)
(V)
(F)

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