Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Se
converge e
, então
converge.
( ) Se
e
são divergentes, então
é divergente.
( ) Seja
a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
0.
( ) Suponha que
e que
, então
diverge.
( ) Sejam
e
polinômios com coeficientes inteiros em
, com
. Se o grau de
for menor que de
, então
converge.
( ) Se
( ) Se
( ) Seja
( ) Suponha que
( ) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para classificar cinco afirmações sobre séries numéricas como verdadeiras ou falsas e justificar cada resposta. O conteúdo envolve convergência de séries de termos positivos, comparação assintótica de termos, o teste do termo geral (necessidade de
) e o comportamento de séries do tipo racional
. Vamos usar contraexemplos e resultados padrão de séries p-séries e do teste do termo geral.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
converge e
, então
converge.”
Contraexemplo: tome . Então
converge (é uma p-série com
), mas
e
diverge (é a série harmônica). Logo, a afirmação é falsa.
Contraexemplo: tome
Passo 3
Afirmação 2: “Se
e
são divergentes, então
é divergente.”
Contraexemplo: tome e
. Ambas as séries
divergem, mas
e
converge. Portanto, a afirmação é falsa.
Contraexemplo: tome
Passo 4
Afirmação 3: “Seja
a sequência de somas parciais de
. Se
é convergente, então
.”
Isto é exatamente o teste do termo geral: a convergência de implica necessariamente que
. Logo, a afirmação é verdadeira.
Isto é exatamente o teste do termo geral: a convergência de
Passo 5
Afirmação 4: “Suponha
e
, então
diverge.”
Pelo teste do termo geral, se a série inexoravelmente diverge. Como aqui
, a série diverge. A afirmação é verdadeira.
Pelo teste do termo geral, se
Passo 6
Afirmação 5: “Sejam
e
polinômios com
. Então
converge.”
Quando ,
e a série comporta-se como a harmônica, que diverge. Por exemplo,
,
:
diverge. Logo, a afirmação é falsa.
Quando
Resposta
(F)
(F)
(V)
(V)
(F)
(F)
(V)
(V)
(F)