Calcule a soma da série:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n};

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.
Este é um caso clássico de série geométrica infinita. Para somá-la, precisamos usar a fórmula da soma quando a razão satisfaz \lvert r\rvert<1.

Passo 2

Numa série geométrica do tipo
\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n},
o primeiro termo é a e a razão é r.
Aqui temos
a = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{0} = 1,
r = \tfrac12.

Passo 3

A fórmula da soma de uma série geométrica infinita, válida se \lvert r\rvert<1, é
\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n} = \frac{a}{1-r}.
Substituindo a=1 e r=\tfrac12, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} = \frac{1}{1 - \tfrac12} = \frac{1}{\tfrac12} = 2.

Passo 4

Verificamos que \lvert r\rvert = \tfrac12 < 1, ou seja, a série converge e sua soma é bem dada pelo resultado acima.

Resposta

2

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