Calcule a soma da série:
\sum_{n=1}^{\infty} 9^{-n} 4^{n+1};

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}9^{-n}4^{n+1}.
Este é um caso de série geométrica infinita, em que vamos usar a fórmula
S = \frac{a_1}{1 - r},
válida quando |r|<1.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral da série:
9^{-n}4^{n+1} =4^{n+1}\cdot \frac{1}{9^n} =4\cdot \frac{4^n}{9^n} =4\left(\frac{4}{9}\right)^n.

Passo 3

Dessa forma, a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}4\left(\frac{4}{9}\right)^n.
Aqui a razão é
r = \frac{4}{9},
e o primeiro termo (para n=1) é
a_1 = 4\left(\frac{4}{9}\right)^1 = \frac{16}{9}.

Passo 4

Como \bigl|\tfrac{4}{9}\bigr|<1, a soma é
S = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{\frac{16}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{16}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{16}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{16}{5}

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