Verifique se a série é convergente:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{5^{n}}+n\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\Bigl(\tfrac{1}{5^{n}} + n\Bigr).
O conteúdo principal aqui são séries numéricas e, em particular, a condição necessária de convergência, que diz que, se \sum a_{n} converge, então
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{1}{5^{n}} + n.
Calculamos o limite de a_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{1}{5^{n}} + n\Bigr) = 0 + \lim_{n\to\infty}n = +\infty.
Como esse limite não é zero (nem finito), a condição necessária de convergência falha.

Resposta

A série diverge.

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