Assinale V ou F.
Se uma matriz quadrada
é linha-equivalente a
, então
.
Se uma matriz quadrada
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale se a afirmação é verdadeira ou falsa:
A afirmação é: “Se uma matriz quadrada
é linha-equivalente a
, então
.”
Informações dadas:
-
e são matrizes quadradas. -
é linha-equivalente a , ou seja, existe uma sequência finita de operações elementares por linhas que transforma em .
O que se pergunta:
- A igualdade
vale sempre quando e são linha-equivalentes?
Passo 2
Vou explicar o que significa “linha-equivalente” de forma clara e sem pressa.
Definição prática: duas matrizes são linha-equivalentes se podemos transformar uma na outra aplicando uma sequência finita de operações elementares por linhas. Existem três tipos de operações elementares por linhas (vou chamar as linhas de
):
- Trocar duas linhas:
. - Multiplicar uma linha por um escalar não nulo
: . - Somar um múltiplo de uma linha em outra linha:
(com qualquer).
Essas três operações geram todas as transformações por linhas que usamos no escalonamento por linhas. Se
vira
por essas operações, dizemos
é linha-equivalente a
.
Passo 3
Agora preciso explicar, didaticamente, como cada uma dessas operações afeta o determinante. Isso é chave para saber se determinante se preserva.
Propriedades fundamentais (que usamos sem prova profunda, mas com justificativa intuitiva):
- A função determinante é multilinear nas linhas: se você fixa todas as linhas exceto uma, o determinante é uma função linear nessa linha.
- O determinante é alternante: se duas linhas são iguais, o determinante vale zero; trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
Consequências práticas para as operações elementares:
-
Trocar duas linhas
multiplica o determinante por . Em notação: Intuição: por ser alternante, trocar linhas muda o sinal. -
Multiplicar uma linha por
faz o determinante ser multiplicado por : Intuição: por multilinearidade, escalar uma linha escala o determinante na mesma proporção. -
Somar um múltiplo de uma linha em outra
não altera o determinante: Intuição: pela linearidade, isso é igual a det(original) + k·det(matriz com duas linhas iguais), e essa última é zero (duas linhas iguais), portanto não muda.
Essas regras são as que usamos sempre quando fazemos operações por linhas e queremos controlar o determinante.
Passo 4
Vou mostrar exemplos numéricos simples para sentir na prática cada efeito (exemplos 2×2, contas fáceis).
Exemplo para a operação que não altera o determinante (tipo 3).
Pegue
Pegue
Faça
, obtendo
Cálculo dos determinantes:
Conferimos que
porque usamos só o tipo 3.
Exemplo para a operação que escala o determinante (tipo 2).
Pegue
Pegue
Faça
, obtendo
Cálculo dos determinantes:
Aqui
, ou seja, mudou.
Exemplo para a troca de linhas (tipo 1).
Pegue
Pegue
Troque
e
para obter
Cálculo:
Aqui
.]
Passo 5
Concluindo a partir dos passos anteriores: como as operações elementares de tipo 1 (troca) e tipo 2 (multiplicação de linha por escalar) mudam o valor do determinante (respectivamente trocam o sinal e multiplicam por um escalar), a simples condição “ser linha-equivalente” NÃO garante que
. Basta que na sequência de operações que transforma
em
exista pelo menos uma troca de linhas ou uma multiplicação de linha por escalar diferente de
.
Portanto a afirmação do enunciado é falsa. Um contraexemplo simples já mostrado:
e
obtida por
mostram
e
, embora
e
sejam linha-equivalentes.
Observação final útil para a prova: se
e
forem linha-equivalentes através somente de operações do tipo 3 (somar múltiplos de linhas), aí sim
. Mas no caso geral (usar qualquer operação elementar) não há preservação do determinante.
Resposta
F