Assinale V ou F.
Se uma matriz quadrada A é linha-equivalente a B, então \operatorname{det} A=\operatorname{det} B.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale se a afirmação é verdadeira ou falsa:
A afirmação é: “Se uma matriz quadrada A é linha-equivalente a B, então \det A=\det B.”
Informações dadas:
  • A e B são matrizes quadradas.
  • A é linha-equivalente a B, ou seja, existe uma sequência finita de operações elementares por linhas que transforma A em B.
O que se pergunta:
  • A igualdade \det A=\det B vale sempre quando A e B são linha-equivalentes?

Passo 2

Vou explicar o que significa “linha-equivalente” de forma clara e sem pressa.
Definição prática: duas matrizes são linha-equivalentes se podemos transformar uma na outra aplicando uma sequência finita de operações elementares por linhas. Existem três tipos de operações elementares por linhas (vou chamar as linhas de R_1,R_2,\dots):
  1. Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
  2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo c: R_i \to c R_i.
  3. Somar um múltiplo de uma linha em outra linha: R_i \to R_i + k R_j (com k qualquer).
Essas três operações geram todas as transformações por linhas que usamos no escalonamento por linhas. Se A vira B por essas operações, dizemos A é linha-equivalente a B.

Passo 3

Agora preciso explicar, didaticamente, como cada uma dessas operações afeta o determinante. Isso é chave para saber se determinante se preserva.
Propriedades fundamentais (que usamos sem prova profunda, mas com justificativa intuitiva):
  • A função determinante é multilinear nas linhas: se você fixa todas as linhas exceto uma, o determinante é uma função linear nessa linha.
  • O determinante é alternante: se duas linhas são iguais, o determinante vale zero; trocar duas linhas inverte o sinal do determinante.
Consequências práticas para as operações elementares:
  1. Trocar duas linhas R_i \leftrightarrow R_j multiplica o determinante por -1. Em notação:
    \det(\text{matriz após }R_i\leftrightarrow R_j) = -\det(\text{matriz original}).ó
    Intuição: por ser alternante, trocar linhas muda o sinal.
  2. Multiplicar uma linha por c faz o determinante ser multiplicado por c:
    \det(\text{após }R_i\to cR_i)=c\det(\text{original}).ó
    Intuição: por multilinearidade, escalar uma linha escala o determinante na mesma proporção.
  3. Somar um múltiplo de uma linha em outra R_i\to R_i+kR_j não altera o determinante:
    \det(\text{após }R_i\to R_i+kR_j)=\det(\text{original}).ó
    Intuição: pela linearidade, isso é igual a det(original) + k·det(matriz com duas linhas iguais), e essa última é zero (duas linhas iguais), portanto não muda.
Essas regras são as que usamos sempre quando fazemos operações por linhas e queremos controlar o determinante.

Passo 4

Vou mostrar exemplos numéricos simples para sentir na prática cada efeito (exemplos 2×2, contas fáceis).
Exemplo para a operação que não altera o determinante (tipo 3).
Pegue
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Faça R_2\to R_2+2R_1, obtendo
B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Cálculo dos determinantes:
\det A = 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1,
\det B = 1\cdot 1 - 0\cdot 2 = 1.
Conferimos que \det A=\det B porque usamos só o tipo 3.
Exemplo para a operação que escala o determinante (tipo 2).
Pegue
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Faça R_1\to 2R_1, obtendo
C=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Cálculo dos determinantes:
\det A = 1,
\det C = 2\cdot 1 - 0\cdot 0 = 2.
Aqui \det C = 2\det A, ou seja, mudou.
Exemplo para a troca de linhas (tipo 1).
Pegue
D=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}.
Troque R_1 e R_2 para obter
E=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
Cálculo:
\det D = 1\cdot 4 - 2\cdot 3 = 4-6=-2,
\det E = 3\cdot 2 - 4\cdot 1 = 6-4=2.
Aqui \det E = -\det D.]

Passo 5

Concluindo a partir dos passos anteriores: como as operações elementares de tipo 1 (troca) e tipo 2 (multiplicação de linha por escalar) mudam o valor do determinante (respectivamente trocam o sinal e multiplicam por um escalar), a simples condição “ser linha-equivalente” NÃO garante que \det A=\det B. Basta que na sequência de operações que transforma A em B exista pelo menos uma troca de linhas ou uma multiplicação de linha por escalar diferente de 1.
Portanto a afirmação do enunciado é falsa. Um contraexemplo simples já mostrado: A=I_2 e C obtida por R_1\to 2R_1 mostram \det A=1 e \det C=2, embora A e C sejam linha-equivalentes.
Observação final útil para a prova: se A e B forem linha-equivalentes através somente de operações do tipo 3 (somar múltiplos de linhas), aí sim \det A=\det B. Mas no caso geral (usar qualquer operação elementar) não há preservação do determinante.

Resposta

F

Exercícios relacionados