Se \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\\ e & f & g & h \\\ i & j & k & l \\\ m & n & o & p\end{array}\right)=-1, então \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}c & b & a-2 c & d \\\ g & f & e-2 g & h \\\ k & j & i-2 k & l \\\ o & n & m-2 o & p\end{array}\right) é igual a: \bigcirc A) 0 \bigcirc B) 1 \bigcirc C) -1 \bigcirc D) -2
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação: a matriz
A=\begin{pmatrix} a & b & c & d\\[4pt] e & f & g & h\\[4pt] i & j & k & l\\[4pt] m & n & o & p \end{pmatrix}
tem determinante \det(A)=-1. Pede-se o valor do determinante da matriz
M=\begin{pmatrix} c & b & a-2c & d\\[4pt] g & f & e-2g & h\\[4pt] k & j & i-2k & l\\[4pt] o & n & m-2o & p \end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
\det(A)=-1.
Os elementos de M são combinações lineares das colunas de A (observar que as entradas na 1ª, 2ª e 4ª colunas de M coincidem com colunas de A, e a 3ª coluna de M é da forma elemento de A menos duas vezes outro elemento).
A pergunta é: qual é o valor numérico de \det(M) entre as alternativas oferecidas?]
Passo 2
Vamos organizar melhor usando as colunas de A. Defina as colunas de A por
Determinante com duas colunas iguais é zero. Ou seja, \det(\,C_3,\;C_2,\;C_3,\;C_4\,)=0 porque a 1ª e a 3ª colunas ali são iguais. Então o segundo termo some.
Resta \det(\,C_3,\;C_2,\;C_1,\;C_4\,). Isso é apenas uma permutação das colunas de A. Comparando com A=(C_1,C_2,C_3,C_4), para passar de (C_1,C_2,C_3,C_4) para (C_3,C_2,C_1,C_4) basta trocar a coluna 1 com a coluna 3: uma transposição de colunas. Uma transposição de duas colunas muda o sinal do determinante. Logo