Se \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\\ e & f & g & h \\\ i & j & k & l \\\ m & n & o & p\end{array}\right)=-1, então \operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}c & b & a-2 c & d \\\ g & f & e-2 g & h \\\ k & j & i-2 k & l \\\ o & n & m-2 o & p\end{array}\right) é igual a:
\bigcirc A) 0
\bigcirc B) 1
\bigcirc C) -1
\bigcirc D) -2

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação: a matriz
A=\begin{pmatrix} a & b & c & d\\[4pt] e & f & g & h\\[4pt] i & j & k & l\\[4pt] m & n & o & p \end{pmatrix}
tem determinante \det(A)=-1. Pede-se o valor do determinante da matriz
M=\begin{pmatrix} c & b & a-2c & d\\[4pt] g & f & e-2g & h\\[4pt] k & j & i-2k & l\\[4pt] o & n & m-2o & p \end{pmatrix}.
Informações relevantes listadas:
  • \det(A)=-1.
  • Os elementos de M são combinações lineares das colunas de A (observar que as entradas na 1ª, 2ª e 4ª colunas de M coincidem com colunas de A, e a 3ª coluna de M é da forma elemento de A menos duas vezes outro elemento).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico de \det(M) entre as alternativas oferecidas?]

Passo 2

Vamos organizar melhor usando as colunas de A. Defina as colunas de A por
C_1=\begin{pmatrix}a\\[2pt]e\\[2pt]i\\[2pt]m\end{pmatrix},\qquad C_2=\begin{pmatrix}b\\[2pt]f\\[2pt]j\\[2pt]n\end{pmatrix},\qquad C_3=\begin{pmatrix}c\\[2pt]g\\[2pt]k\\[2pt]o\end{pmatrix},\qquad C_4=\begin{pmatrix}d\\[2pt]h\\[2pt]l\\[2pt]p\end{pmatrix}.
Então A tem colunas (C_1,C_2,C_3,C_4) e \det(A)=-1.]

Passo 3

Escrevemos as colunas de M em função de C_1,C_2,C_3,C_4. Observando a matriz dada, vemos:
  • a 1ª coluna de M é \begin{pmatrix}c\\\ g\\\ k\\\ o\end{pmatrix}=C_3;
  • a 2ª coluna de M é C_2;
  • a 3ª coluna de M é \begin{pmatrix}a-2c\\\ e-2g\\\ i-2k\\\ m-2o\end{pmatrix}=C_1-2C_3;
  • a 4ª coluna de M é C_4.
Portanto, em termos de colunas:
M=(\,C_3,\;C_2,\;C_1-2C_3,\;C_4\,).

Passo 4

Usamos a propriedade de linearidade do determinante em cada coluna: se uma coluna é soma X+Y, então
\det(\ldots,X+Y,\ldots)=\det(\ldots,X,\ldots)+\det(\ldots,Y,\ldots),
e se uma coluna é um escalar vezes um vetor, o determinante é multiplicado por esse escalar. Aplicando isso na 3ª coluna de M,
\det(M)=\det(\,C_3,\;C_2,\;C_1-2C_3,\;C_4\,) =\det(\,C_3,\;C_2,\;C_1,\;C_4\,)-2\det(\,C_3,\;C_2,\;C_3,\;C_4\,).

Passo 5

Explico dois fatos usados agora:
  1. Determinante com duas colunas iguais é zero. Ou seja, \det(\,C_3,\;C_2,\;C_3,\;C_4\,)=0 porque a 1ª e a 3ª colunas ali são iguais. Então o segundo termo some.
  2. Resta \det(\,C_3,\;C_2,\;C_1,\;C_4\,). Isso é apenas uma permutação das colunas de A. Comparando com A=(C_1,C_2,C_3,C_4), para passar de (C_1,C_2,C_3,C_4) para (C_3,C_2,C_1,C_4) basta trocar a coluna 1 com a coluna 3: uma transposição de colunas. Uma transposição de duas colunas muda o sinal do determinante. Logo
\det(\,C_3,\;C_2,\;C_1,\;C_4\,)=-\det(\,C_1,\;C_2,\;C_3,\;C_4\,)=-\det(A).

Passo 6

Agora juntamos tudo: do Passo 4 e Passo 5
\det(M)=\det(\,C_3,\;C_2,\;C_1,\;C_4\,)-2\cdot 0 = -\det(A).
Como dado \det(A)=-1, temos
\det(M)=-(-1)=1.

Resposta

1

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