Conceito-chave que vamos usar (explicando devagar): “determinante igual a zero” e “dependência linear”.
Definição de dependência linear (numa linguagem simples): vetores v_1,v_2,\dots,v_n são linearmente dependentes se existem escalares, nem todos zero, \lambda_1,\dots,\lambda_n tais que
\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n=0.
Se não existir tal combinação não-trivial, os vetores são independentes.
Relação com determinante (fato básico, importante em provas): para uma matriz quadrada, o determinante é zero se e somente se as colunas (ou as linhas) são linearmente dependentes. Intuição: o determinante mede o “volume” gerado pelas colunas; se elas estão todas no mesmo plano ou reta (dependentes), o volume é zero.
Vamos então mostrar que as colunas de A são linearmente dependentes — isso já garante \det A=0.
Passo 3
Identificar as colunas explicitamente (é bom olhar as colunas como vetores em \mathbb{R}^3):
porque o i-ésimo elemento de c_j é i-j, que é exatamente r_i - j\cdot 1. Isso mostra que cada coluna é combinação linear de r e v (mais precisamente: c_j = 1\cdot r + (-j)\cdot v).
Conclusão desta etapa: todas as colunas pertencem ao espaço gerado por r e v, isto é \operatorname{span}\{r,v\}, um subespaço de dimensão no máximo 2. Logo as três colunas vivem num espaço de dimensão \le 2, então não podem ser linearmente independentes (três vetores num espaço de dimensão 2 são dependentes).]
Passo 4
Vamos construir explicitamente uma combinação linear não-trivial das colunas que dá o vetor zero (isso é mais direto para provar dependência):
Tome os coeficientes 1,-2,1. Calculemos
1\cdot c_1 + (-2)\cdot c_2 + 1\cdot c_3.
Substituindo c_j=r-jv,
c_1 - 2c_2 + c_3 = (r-1v) -2(r-2v) + (r-3v).
Agrupando os termos em r e v:
(r - 2r + r) + (-1v +4v -3v) = 0\cdot r + 0\cdot v = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto c_1 - 2c_2 + c_3 = 0, uma combinação linear não-trivial (os coeficientes não são todos zero) que anula as colunas. Isso prova explicitamente que as colunas são linearmente dependentes.
(Opcional de verificação: podemos também calcular o determinante diretamente pela regra de Sarrus ou expansão e ver que dá 0. Usando a primeira linha da matriz escrita no Passo 1:
Conclusão lógica final: como as colunas de A são linearmente dependentes (mostramos uma combinação não-trivial que dá zero), pelo fato conhecido que “colunas dependentes \Leftrightarrow determinante zero”, segue que
\det A = 0.
Respire fundo: conseguimos! Esse tipo de padrão a_{ij}=i-j sempre gera matrizes de posto no máximo 2 (para 3\times3), então dá sempre determinante zero.