Assinale V ou F.
Se A \in M_{3 \times 3} é tal que a_{i j}=i-j, então \operatorname{det} A=0.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se é verdadeiro (V) ou falso (F) que, para A\in M_{3\times 3} com entradas a_{ij}=i-j (para i,j=1,2,3), temos \det A=0.
Informações dadas e coisa explícita que podemos escrever já:
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 1-2 & 1-3\\[4pt] 2-1 & 2-2 & 2-3\\[4pt] 3-1 & 3-2 & 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Pergunta final: \det A=0? (Marcar V ou F.)]

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicando devagar): “determinante igual a zero” e “dependência linear”.
  • Definição de dependência linear (numa linguagem simples): vetores v_1,v_2,\dots,v_n são linearmente dependentes se existem escalares, nem todos zero, \lambda_1,\dots,\lambda_n tais que
\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n=0.
Se não existir tal combinação não-trivial, os vetores são independentes.
  • Relação com determinante (fato básico, importante em provas): para uma matriz quadrada, o determinante é zero se e somente se as colunas (ou as linhas) são linearmente dependentes. Intuição: o determinante mede o “volume” gerado pelas colunas; se elas estão todas no mesmo plano ou reta (dependentes), o volume é zero.
Vamos então mostrar que as colunas de A são linearmente dependentes — isso já garante \det A=0.

Passo 3

Identificar as colunas explicitamente (é bom olhar as colunas como vetores em \mathbb{R}^3):
Escrevemos as colunas de A como c_1,c_2,c_3:
c_1=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora uma observação útil (padrão para matrizes do tipo a_{ij}=i-j): defina
r=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},\qquad v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Então, para cada coluna j,
c_j = r - j\,v,
porque o i-ésimo elemento de c_j é i-j, que é exatamente r_i - j\cdot 1. Isso mostra que cada coluna é combinação linear de r e v (mais precisamente: c_j = 1\cdot r + (-j)\cdot v).
Conclusão desta etapa: todas as colunas pertencem ao espaço gerado por r e v, isto é \operatorname{span}\{r,v\}, um subespaço de dimensão no máximo 2. Logo as três colunas vivem num espaço de dimensão \le 2, então não podem ser linearmente independentes (três vetores num espaço de dimensão 2 são dependentes).]

Passo 4

Vamos construir explicitamente uma combinação linear não-trivial das colunas que dá o vetor zero (isso é mais direto para provar dependência):
Tome os coeficientes 1,-2,1. Calculemos
1\cdot c_1 + (-2)\cdot c_2 + 1\cdot c_3.
Substituindo c_j=r-jv,
c_1 - 2c_2 + c_3 = (r-1v) -2(r-2v) + (r-3v).
Agrupando os termos em r e v:
(r - 2r + r) + (-1v +4v -3v) = 0\cdot r + 0\cdot v = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Portanto c_1 - 2c_2 + c_3 = 0, uma combinação linear não-trivial (os coeficientes não são todos zero) que anula as colunas. Isso prova explicitamente que as colunas são linearmente dependentes.
(Opcional de verificação: podemos também calcular o determinante diretamente pela regra de Sarrus ou expansão e ver que dá 0. Usando a primeira linha da matriz escrita no Passo 1:
\det A = 0\cdot(0\cdot 0 - (-1)\cdot 1) -(-1)\cdot(1\cdot 0 - (-1)\cdot 2) + (-2)\cdot(1\cdot 1 - 0\cdot 2) = 0 -(-1)\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = 2-2=0,
confirmação numérica.)]

Passo 5

Conclusão lógica final: como as colunas de A são linearmente dependentes (mostramos uma combinação não-trivial que dá zero), pelo fato conhecido que “colunas dependentes \Leftrightarrow determinante zero”, segue que
\det A = 0.
Respire fundo: conseguimos! Esse tipo de padrão a_{ij}=i-j sempre gera matrizes de posto no máximo 2 (para 3\times3), então dá sempre determinante zero.

Resposta

V

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