Assinale V ou F.
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)=-2

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale V ou F à afirmação de que o determinante da matriz abaixo é -2.
A matriz dada é
M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 2 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Todos os elementos da matriz estão explícitos (listei-os acima).
  • A afirmação a verificar é: \det(M) = -2.

Passo 2

Vou explorar a estrutura da matriz para escolher um caminho simples para calcular o determinante. Observando M, vejo que as entradas nas posições das colunas 1 e 2 das linhas 3 e 4 são zeros. Posso escrever M em blocos 2\times2 assim:
M=\begin{pmatrix} A & B \\\\ 0 & C \end{pmatrix},
onde
A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Há uma propriedade útil: se uma matriz tem essa forma em blocos (bloco inferior-esquerdo igual a zero), então o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos diagonais, isto é,
\det(M)=\det(A)\cdot\det\text{(C)}.
Breve justificativa intuitiva: expandindo o determinante pela escolha de colunas/linhas, as escolhas que envolvem linhas do bloco superior com colunas do bloco inferior dão zero por causa do bloco zero; portanto a contribuição efetiva separa-se em produtos dos determinantes dos blocos diagonais.]

Passo 3

Calculo \det(A). Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
a fórmula do determinante é
\det = ad - bc.
Aplicando a A:
\det(A)=1\cdot 2 - (-1)\cdot 0 = 2 - 0 = 2.

Passo 4

Calculo \det\text{(C)} usando a mesma fórmula ad-bc. Para
C=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
temos
\det\text{(C)}=(-1)\cdot 1 - 2\cdot 1 = -1 - 2 = -3.]

Passo 5

Multiplico os determinantes dos blocos diagonais para obter o determinante de M:
\det(M)=\det(A)\cdot\det\text{(C)}=2\cdot(-3)=-6.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida por outro método (expansão por uma coluna com muitos zeros) para confirmar: expandindo \det(M) pela primeira coluna, só o elemento M_{11}=1 contribui, e o menor correspondente é
\begin{pmatrix} 2 & 0 & -3 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Como nessa submatriz a primeira coluna tem só a primeira entrada não nula, seu determinante é 2 vezes o determinante de \begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, ou seja 2\cdot(-3)=-6, confirmando o resultado anterior.

Resposta

F

Exercícios relacionados