Todos os elementos da matriz estão explícitos (listei-os acima).
A afirmação a verificar é: \det(M) = -2.
Passo 2
Vou explorar a estrutura da matriz para escolher um caminho simples para calcular o determinante. Observando M, vejo que as entradas nas posições das colunas 1 e 2 das linhas 3 e 4 são zeros. Posso escrever M em blocos 2\times2 assim:
Há uma propriedade útil: se uma matriz tem essa forma em blocos (bloco inferior-esquerdo igual a zero), então o determinante da matriz inteira é o produto dos determinantes dos blocos diagonais, isto é,
\det(M)=\det(A)\cdot\det\text{(C)}.
Breve justificativa intuitiva: expandindo o determinante pela escolha de colunas/linhas, as escolhas que envolvem linhas do bloco superior com colunas do bloco inferior dão zero por causa do bloco zero; portanto a contribuição efetiva separa-se em produtos dos determinantes dos blocos diagonais.]
Passo 3
Calculo \det(A). Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
a fórmula do determinante é
\det = ad - bc.
Aplicando a A:
\det(A)=1\cdot 2 - (-1)\cdot 0 = 2 - 0 = 2.
Passo 4
Calculo \det\text{(C)} usando a mesma fórmula ad-bc. Para
Multiplico os determinantes dos blocos diagonais para obter o determinante de M:
\det(M)=\det(A)\cdot\det\text{(C)}=2\cdot(-3)=-6.
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida por outro método (expansão por uma coluna com muitos zeros) para confirmar: expandindo \det(M) pela primeira coluna, só o elemento M_{11}=1 contribui, e o menor correspondente é
Como nessa submatriz a primeira coluna tem só a primeira entrada não nula, seu determinante é 2 vezes o determinante de \begin{pmatrix}-1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, ou seja 2\cdot(-3)=-6, confirmando o resultado anterior.