Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] A média amostral
é uma estatística, enquanto a média populacional
é um parâmetro.
[ ] A média amostral
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é: “A média amostral
é uma estatística, enquanto a média populacional
é um parâmetro.”
Informações dadas: a afirmação relaciona dois símbolos matemáticos — e
— e faz uma declaração sobre o que cada um representa. Minha tarefa: decidir V ou F e, se for F, reescrever a afirmação de modo verdadeiro. Se for V, indicar isso.
Informações dadas: a afirmação relaciona dois símbolos matemáticos —
Passo 2
O que significa “estatística” e o que significa “parâmetro”? Vou explicar devagar e com exemplo, bem mastigado.
- Uma “estatística” é uma quantidade calculada a partir dos dados de uma amostra. Ou seja, é uma função dos valores observados na amostra. Exemplo simples: a média da amostra, a mediana da amostra, a variância amostral. Essas quantidades dependem dos dados coletados; se você coletar outra amostra, a estatística pode mudar.
- Um “parâmetro” é uma característica da população inteira — é um número fixo (mas geralmente desconhecido) que descreve a população. Exemplos: média populacional, variância populacional, proporção populacional. O parâmetro não muda quando você coleta uma amostra (ele é fixo na população), embora frequentemente você não o conheça.
Passo 3
Agora vamos identificar
e
. Primeiro, a média amostral:
A média amostral é definida por
A média amostral é definida por
onde
são as observações da amostra e
é o tamanho da amostra. Note que
depende diretamente dos valores
— ou seja, é uma função dos dados da amostra. Isso é exatamente o que faz dela uma estatística: você calcula
a partir da amostra observada. Por exemplo, se a amostra for
, então
Se eu pegar outra amostra, o valor de
pode ser outro.
Passo 4
Agora a média populacional
. A média populacional é o valor médio de toda a população — por exemplo, a esperança matemática da variável aleatória que descreve a população. Em termos de expectativa, se
representa a variável na população, então a média populacional é
Passo 5
Para reforçar a diferença com uma propriedade útil: a média amostral
é um estimador de
. Sob condições simples (por exemplo, se
formam uma amostra aleatória com
), a média amostral é não-viciada, isto é,
Vou mostrar rapidinho por que isso é verdade: usando linearidade da esperança,
Se todos os
têm esperança
, então
Isso mostra que, em média,
acerta o parâmetro
. Mas atenção: isso não contradiz o fato de que
é uma estatística (variável que muda conforme a amostra) enquanto
é um parâmetro fixo da população.
Passo 6
Conclusão clara e direta: a afirmação do enunciado está correta.
é de fato uma estatística (porque é calculada a partir dos dados da amostra) e
é um parâmetro (um valor fixo que caracteriza a população). Então marcamos Verdadeiro.
Resposta
V (Verdadeiro)