Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] A média amostral \bar{X} é uma estatística, enquanto a média populacional \mu é um parâmetro.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é: “A média amostral \bar{X} é uma estatística, enquanto a média populacional \mu é um parâmetro.”
Informações dadas: a afirmação relaciona dois símbolos matemáticos — \bar{X} e \mu — e faz uma declaração sobre o que cada um representa. Minha tarefa: decidir V ou F e, se for F, reescrever a afirmação de modo verdadeiro. Se for V, indicar isso.

Passo 2

O que significa “estatística” e o que significa “parâmetro”? Vou explicar devagar e com exemplo, bem mastigado.
  • Uma “estatística” é uma quantidade calculada a partir dos dados de uma amostra. Ou seja, é uma função dos valores observados na amostra. Exemplo simples: a média da amostra, a mediana da amostra, a variância amostral. Essas quantidades dependem dos dados coletados; se você coletar outra amostra, a estatística pode mudar.
  • Um “parâmetro” é uma característica da população inteira — é um número fixo (mas geralmente desconhecido) que descreve a população. Exemplos: média populacional, variância populacional, proporção populacional. O parâmetro não muda quando você coleta uma amostra (ele é fixo na população), embora frequentemente você não o conheça.

Passo 3

Agora vamos identificar \bar{X} e \mu. Primeiro, a média amostral:
A média amostral é definida por
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,
onde X_1,\dots,X_n são as observações da amostra e n é o tamanho da amostra. Note que \bar{X} depende diretamente dos valores X_i — ou seja, é uma função dos dados da amostra. Isso é exatamente o que faz dela uma estatística: você calcula \bar{X} a partir da amostra observada. Por exemplo, se a amostra for \{8,10,12\}, então
\bar{X}=\frac{8+10+12}{3}=10.
Se eu pegar outra amostra, o valor de \bar{X} pode ser outro.

Passo 4

Agora a média populacional \mu. A média populacional é o valor médio de toda a população — por exemplo, a esperança matemática da variável aleatória que descreve a população. Em termos de expectativa, se X representa a variável na população, então a média populacional é
\mu = E(X).
\mu é um parâmetro: é um valor fixo que descreve a população inteira. Na prática, normalmente não conhecemos \mu (é um número desconhecido) e usamos a média amostral \bar{X} como uma estimativa para \mu.

Passo 5

Para reforçar a diferença com uma propriedade útil: a média amostral \bar{X} é um estimador de \mu. Sob condições simples (por exemplo, se X_1,\dots,X_n formam uma amostra aleatória com E(X_i)=\mu), a média amostral é não-viciada, isto é,
E(\bar{X}) = \mu.
Vou mostrar rapidinho por que isso é verdade: usando linearidade da esperança,
E(\bar{X}) = E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i).
Se todos os X_i têm esperança \mu, então
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu = \frac{1}{n}\cdot n\mu = \mu.
Isso mostra que, em média, \bar{X} acerta o parâmetro \mu. Mas atenção: isso não contradiz o fato de que \bar{X} é uma estatística (variável que muda conforme a amostra) enquanto \mu é um parâmetro fixo da população.

Passo 6

Conclusão clara e direta: a afirmação do enunciado está correta. \bar{X} é de fato uma estatística (porque é calculada a partir dos dados da amostra) e \mu é um parâmetro (um valor fixo que caracteriza a população). Então marcamos Verdadeiro.

Resposta

V (Verdadeiro)

Exercícios relacionados