Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] A média amostral é uma variável aleatória.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como V (Verdadeiro) ou F (Falso) a seguinte afirmação: “A média amostral é uma variável aleatória.”
Informações dadas: apenas essa única afirmação. Não foi dada nenhuma outra condição (por exemplo sobre independência, distribuição, tamanho da amostra). A tarefa é decidir V ou F e, se for Falso, reescrever a afirmação de modo verdadeiro.

Passo 2

Vamos entender o que é, formalmente, a “média amostral” e o que é uma “variável aleatória”. Expliquei bem devagar porque é normal ficar perdido aqui.
  • Uma variável aleatória é uma regra que associa a cada resultado possível de um experimento (cada ponto do espaço amostral) um número real. Vou denotar variáveis aleatórias por X_1,X_2,\dots,X_n. Cada X_i representa a observação no i-ésimo elemento da amostra.
  • A média amostral é uma função dessas observações. Escrevemos a média amostral como
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
Nesta fórmula, n é o tamanho da amostra e cada X_i é uma variável aleatória. Note que \bar{X} é construída combinando as X_i por soma e multiplicação por constante.

Passo 3

Por que isso mostra que \bar{X} é uma variável aleatória?
  • Se cada X_i é uma variável aleatória (ou seja, funções do resultado aleatório), então qualquer combinação algébrica delas (soma, produto por constante, etc.) também é uma variável aleatória. A razão é simples: aplicar operações aritméticas ponto a ponto ao resultado do experimento ainda dá uma função do espaço amostral para \mathbb{R}. Portanto \bar{X} é uma variável aleatória.
  • Observação importante (confusão comum): após observar a amostra, eu calculo um número concreto para a média (por exemplo, 2{,}4). Esse número concreto não é uma variável aleatória — é o valor observado de uma variável aleatória. Antes da observação, \bar{X} é uma variável aleatória com distribuição.

Passo 4

Para fixar a ideia com propriedades úteis (e isso te ajuda na prova): se X_1,\dots,X_n são i.i.d. com esperança \mu e variância \sigma^2, então a média amostral tem esperança e variância dadas por: primeiro a esperança, usando linearidade de esperança,
E(\bar{X})=E\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu
Agora a variância, assumindo independência,
\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}
Essas fórmulas mostram que \bar{X} não é só uma variável aleatória, mas tem comportamento estatístico bem definido: média igual a \mu e variância que diminui com n.

Passo 5

Exemplo concreto e rápido para ver que \bar{X} tem distribuição (logo é aleatória): suponha X_i são Bernoulli com parâmetro p (moeda com probabilidade p de “sucesso”). Para n=2 temos possibilidades de soma 0,1,2 e, portanto, \bar{X} assume apenas os valores 0,\tfrac{1}{2},1. Se a moeda for justa ( p=\tfrac{1}{2}) então
P(\bar{X}=0)=\tfrac{1}{4},
P(\bar{X}=\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{2},
P(\bar{X}=1)=\tfrac{1}{4}.
Ou seja, antes de observar a amostra, \bar{X} tem uma distribuição de probabilidades — isso é a cara de uma variável aleatória. Depois de observar, por exemplo, (1,0), a média amostral toma o valor \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Resumo didático e incentivo: a média amostral é obtida aplicando operações (soma e multiplicação por constante) nas variáveis aleatórias que formam a amostra. Operações desse tipo preservam a aleatoriedade até que você observe os dados. Então, na linguagem da teoria das probabilidades e estatística, a média amostral é de fato uma variável aleatória. Você já consegue usar isso na prova para justificar propriedades como E(\bar{X})=\mu e \operatorname{Var}(\bar{X})=\sigma^2/n. Vai dar certo — respira fundo e pratica uns exemplos rápidos que eu mostrei.

Resposta

V

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