Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] A média amostral é uma variável aleatória.
[ ] A média amostral é uma variável aleatória.
Passo 1
O enunciado pede para classificar como V (Verdadeiro) ou F (Falso) a seguinte afirmação: “A média amostral é uma variável aleatória.”
Informações dadas: apenas essa única afirmação. Não foi dada nenhuma outra condição (por exemplo sobre independência, distribuição, tamanho da amostra). A tarefa é decidir V ou F e, se for Falso, reescrever a afirmação de modo verdadeiro.
Informações dadas: apenas essa única afirmação. Não foi dada nenhuma outra condição (por exemplo sobre independência, distribuição, tamanho da amostra). A tarefa é decidir V ou F e, se for Falso, reescrever a afirmação de modo verdadeiro.
Passo 2
Vamos entender o que é, formalmente, a “média amostral” e o que é uma “variável aleatória”. Expliquei bem devagar porque é normal ficar perdido aqui.
- Uma variável aleatória é uma regra que associa a cada resultado possível de um experimento (cada ponto do espaço amostral) um número real. Vou denotar variáveis aleatórias por
. Cada representa a observação no i-ésimo elemento da amostra. - A média amostral é uma função dessas observações. Escrevemos a média amostral como
Nesta fórmula,
é o tamanho da amostra e cada
é uma variável aleatória. Note que
é construída combinando as
por soma e multiplicação por constante.
Passo 3
Por que isso mostra que
é uma variável aleatória?
- Se cada
é uma variável aleatória (ou seja, funções do resultado aleatório), então qualquer combinação algébrica delas (soma, produto por constante, etc.) também é uma variável aleatória. A razão é simples: aplicar operações aritméticas ponto a ponto ao resultado do experimento ainda dá uma função do espaço amostral para . Portanto é uma variável aleatória. - Observação importante (confusão comum): após observar a amostra, eu calculo um número concreto para a média (por exemplo,
). Esse número concreto não é uma variável aleatória — é o valor observado de uma variável aleatória. Antes da observação, é uma variável aleatória com distribuição.
Passo 4
Para fixar a ideia com propriedades úteis (e isso te ajuda na prova): se
são i.i.d. com esperança
e variância
, então a média amostral tem esperança e variância dadas por: primeiro a esperança, usando linearidade de esperança,
Agora a variância, assumindo independência,
Essas fórmulas mostram que
não é só uma variável aleatória, mas tem comportamento estatístico bem definido: média igual a
e variância que diminui com
.
Passo 5
Exemplo concreto e rápido para ver que
tem distribuição (logo é aleatória): suponha
são Bernoulli com parâmetro
(moeda com probabilidade
de “sucesso”). Para
temos possibilidades de soma
e, portanto,
assume apenas os valores
. Se a moeda for justa (
) então
,
,
.
Ou seja, antes de observar a amostra, tem uma distribuição de probabilidades — isso é a cara de uma variável aleatória. Depois de observar, por exemplo,
, a média amostral toma o valor
.
Ou seja, antes de observar a amostra,
Passo 6
Resumo didático e incentivo: a média amostral é obtida aplicando operações (soma e multiplicação por constante) nas variáveis aleatórias que formam a amostra. Operações desse tipo preservam a aleatoriedade até que você observe os dados. Então, na linguagem da teoria das probabilidades e estatística, a média amostral é de fato uma variável aleatória. Você já consegue usar isso na prova para justificar propriedades como
e
. Vai dar certo — respira fundo e pratica uns exemplos rápidos que eu mostrei.
Resposta
V