Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
[ ] Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a afirmação abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for falsa, devo reescrevê‑la de modo a torná‑la verdadeira.
Afirmação a julgar:
Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
Informações implícitas dadas no enunciado:
- Não foram explicitadas hipóteses sobre como a amostra é obtida (por exemplo: se as observações são independentes, idêntica distribuição, amostragem com ou sem reposição, etc.).
- A afirmação é dada em forma geral, sem restrições.
Passo 2
Primeiro eu explico o que é a média amostral e o que significa sua variância, com calma.
Definição da média amostral:
onde
são as observações da amostra e
é o tamanho da amostra.
O que é a variância da média amostral:
é uma medida de quão dispersos (em média) são os valores de
ao repetir o processo amostral. Menor
significa que a média amostral tende a ficar mais concentrada em torno da média verdadeira.
Vou também lembrar a fórmula geral da variância de uma soma (útil a seguir):
onde
é a covariância entre
e
.
Passo 3
Calculo a variância da média amostral sem assumir independência inicialmente (caso geral):
Usando
e a fórmula da variância de uma soma:
Interpretação: a presença dos termos de covariância pode impedir que
diminua simplesmente com
. Vou mostrar um contra‑exemplo prático para ver por que a afirmação original, dita sem hipóteses, é problemática.
Contra‑exemplo (dependência perfeita):
Suponha que todas as observações sejam exatamente iguais, isto é, existe uma variável tal que
para todo
. Então
para qualquer
. Logo
Suponha que todas as observações sejam exatamente iguais, isto é, existe uma variável
que é independente de
. Nesse caso, aumentar
não reduz a variância da média. Portanto, a afirmação dada, sem hipóteses, é falsa.
Passo 4
Agora mostro o caso clássico (assunção usual nas aulas) em que a afirmação vira verdadeira: observações independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com variância finita.
Suponha
i.i.d. com
finita. Então as covariâncias são nulas:
para
. Aplicando a fórmula do passo anterior:
Interpretação didática e prática: essa fórmula diz que, quando as observações são i.i.d., a variância da média amostral diminui como
. Ou seja, se eu quadruplicar o tamanho da amostra, a variância da média diminui por um fator
. Exemplo numérico rápido: se
,
- para
: ; - para
: ; - para
: .
É por isso que, sob i.i.d. (ou, em geral, quando as covariâncias não são positivas grandes), aumentar
reduz a incerteza da média.
Passo 5
Comentário sobre amostragem sem reposição (população finita) — correção de população finita:
Se estivermos fazendo amostragem aleatória simples sem reposição de uma população finita de tamanho
com variância populacional
, a variância da média amostral é
Aqui há um fator adicional
(correção de população finita), mas note que essa expressão também diminui quando
aumenta (até
), portanto a conclusão qualitativa (maior
implica menor variância da média) permanece válida sob esse modelo.
Passo 6
Conclusão lógica:
- A afirmação original, sem especificar hipóteses, é falsa, porque em presença de dependência entre observações (por exemplo, correlação perfeita) a variância da média pode não diminuir quando
aumenta. - Entretanto, a afirmação fica verdadeira sob hipóteses padrão (por exemplo: amostra aleatória de observações i.i.d. com variância finita). Nessas condições temos a fórmula
, que mostra claramente a diminuição da variância com .
Resposta
F — Reescrita verdadeira: Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral, desde que as observações sejam independentes e identicamente distribuídas com variância finita; nesse caso
.