Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a afirmação abaixo como Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for falsa, devo reescrevê‑la de modo a torná‑la verdadeira.
Afirmação a julgar:
Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral.
Informações implícitas dadas no enunciado:
  • Não foram explicitadas hipóteses sobre como a amostra é obtida (por exemplo: se as observações são independentes, idêntica distribuição, amostragem com ou sem reposição, etc.).
  • A afirmação é dada em forma geral, sem restrições.

Passo 2

Primeiro eu explico o que é a média amostral e o que significa sua variância, com calma.
Definição da média amostral:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i
onde X_1,\dots,X_n são as observações da amostra e n é o tamanho da amostra.
O que é a variância da média amostral:
\operatorname{Var}(\bar{X})
é uma medida de quão dispersos (em média) são os valores de \bar{X} ao repetir o processo amostral. Menor \operatorname{Var}(\bar{X}) significa que a média amostral tende a ficar mais concentrada em torno da média verdadeira.
Vou também lembrar a fórmula geral da variância de uma soma (útil a seguir):
\operatorname{Var}\Big(\sum_{i=1}^n Y_i\Big)=\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(Y_i)+2\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{Cov}(Y_i,Y_j)
onde \operatorname{Cov}(Y_i,Y_j) é a covariância entre Y_i e Y_j.

Passo 3

Calculo a variância da média amostral sem assumir independência inicialmente (caso geral):
Usando \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i e a fórmula da variância de uma soma:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\Big(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Big)=\frac{1}{n^2}\left(\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\le i<j\le n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\right).
Interpretação: a presença dos termos de covariância pode impedir que \operatorname{Var}(\bar{X}) diminua simplesmente com n. Vou mostrar um contra‑exemplo prático para ver por que a afirmação original, dita sem hipóteses, é problemática.
Contra‑exemplo (dependência perfeita):
Suponha que todas as observações sejam exatamente iguais, isto é, existe uma variável Y tal que X_i=Y para todo i. Então \bar{X}=Y para qualquer n. Logo
\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}(Y),
que é independente de n. Nesse caso, aumentar n não reduz a variância da média. Portanto, a afirmação dada, sem hipóteses, é falsa.

Passo 4

Agora mostro o caso clássico (assunção usual nas aulas) em que a afirmação vira verdadeira: observações independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com variância finita.
Suponha X_1,\dots,X_n i.i.d. com \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2 finita. Então as covariâncias são nulas: \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0 para i\ne j. Aplicando a fórmula do passo anterior:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n\operatorname{Var}(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}.
Interpretação didática e prática: essa fórmula diz que, quando as observações são i.i.d., a variância da média amostral diminui como 1/n. Ou seja, se eu quadruplicar o tamanho da amostra, a variância da média diminui por um fator 4. Exemplo numérico rápido: se \sigma^2=4,
  • para n=1: \operatorname{Var}(\bar{X})=4;
  • para n=4: \operatorname{Var}(\bar{X})=1;
  • para n=100: \operatorname{Var}(\bar{X})=0,04.
É por isso que, sob i.i.d. (ou, em geral, quando as covariâncias não são positivas grandes), aumentar n reduz a incerteza da média.

Passo 5

Comentário sobre amostragem sem reposição (população finita) — correção de população finita:
Se estivermos fazendo amostragem aleatória simples sem reposição de uma população finita de tamanho N com variância populacional \sigma^2, a variância da média amostral é
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^2}{n}\left(1-\frac{n}{N}\right).
Aqui há um fator adicional \left(1-\dfrac{n}{N}\right) (correção de população finita), mas note que essa expressão também diminui quando n aumenta (até n=N), portanto a conclusão qualitativa (maior n implica menor variância da média) permanece válida sob esse modelo.

Passo 6

Conclusão lógica:
  • A afirmação original, sem especificar hipóteses, é falsa, porque em presença de dependência entre observações (por exemplo, correlação perfeita) a variância da média pode não diminuir quando n aumenta.
  • Entretanto, a afirmação fica verdadeira sob hipóteses padrão (por exemplo: amostra aleatória de observações i.i.d. com variância finita). Nessas condições temos a fórmula \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}, que mostra claramente a diminuição da variância com n.

Resposta

F — Reescrita verdadeira: Quanto maior o tamanho da amostra, menor a variância da média amostral, desde que as observações sejam independentes e identicamente distribuídas com variância finita; nesse caso \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^2}{n}.

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