Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] A construção de um intervalo de confiança segundo as melhores práticas assegura que a verdadeira média populacional estará contida no intervalo.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para a afirmação abaixo e, se for falsa, que a reescreva de forma verdadeira. A afirmação é:
“A construção de um intervalo de confiança segundo as melhores práticas assegura que a verdadeira média populacional estará contida no intervalo.”
Informações relevantes dadas:
  • Há apenas uma afirmação sobre intervalo de confiança.
  • O verbo-chave é “assegura” (garante) que a verdadeira média populacional estará contida no intervalo construído.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma simples e concreta, o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança é um procedimento que usa os dados da amostra para produzir um intervalo numérico de possíveis valores para um parâmetro desconhecido (por exemplo, a média populacional \mu). Ao falar de nível de confiança, usamos um número 1-\alpha (por exemplo, 1-\alpha=0{,}95 para 95\%). Isso significa que o procedimento tem uma propriedade de cobertura a longo prazo: se repetirmos o mesmo experimento muitas vezes, calculando um intervalo para cada amostra com o mesmo método e nível 1-\alpha, a fração desses intervalos que realmente contém \mu tende a ser 1-\alpha. Essa definição é importante porque explica o sentido de “confiança” em estatística frequentista.

Passo 3

Vou mostrar com uma fórmula simples (sem pular passos) como essa propriedade aparece num caso clássico: amostra de uma população com desvio-padrão populacional conhecido. Seja \bar{X} a média amostral de uma amostra de tamanho n de uma população com média \mu e desvio-padrão \sigma. O intervalo de confiança para \mu com nível 1-\alpha é
\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr\big(|Z|\le z_{1-\alpha/2}\big)=1-\alpha. Agora, antes de observar os dados (isto é, no planejamento), temos
\Pr\!\left(\bar{X}-z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X}+z_{1-\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha.
Essa igualdade vem de transformar a desigualdade em termos da variável padronizada Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) e usar a definição de z_{1-\alpha/2}. Note que essa probabilidade é sobre o processo aleatório que gera \bar{X} — antes de coletar os dados.

Passo 4

Agora vem a interpretação prática, onde a confusão costuma aparecer: depois que eu coletei os dados e calculei um intervalo concreto (por exemplo, (46{,}08,53{,}92)), esse intervalo já é um número fixo. A média populacional \mu é também um número fixo (mas desconhecido). Na interpretação frequentista NÃO faz sentido dizer "a probabilidade de \mu estar nesse intervalo é 95\%" — pois para a frequência clássica a probabilidade refere-se ao processo aleatório antes da observação. O que é correto dizer é: “O procedimento que gereu este intervalo tem uma taxa de cobertura de 1-\alpha; isto é, se repetirmos o experimento muitas vezes, em aproximadamente 100(1-\alpha)\% das amostras os intervalos assim construídos conterão \mu.” Em contraste, se você adotar uma abordagem bayesiana e colocar uma distribuição a priori em \mu, aí sim se pode falar de probabilidade posterior de \mu estar no intervalo observado (um “intervalo de credibilidade”).

Passo 5

Para fixar com um exemplo numérico (pra ficar concreto e você poder usar na prova): suponha n=25, \sigma=10, \bar{X}=50 e você quer 95\% de confiança (ou seja, 1-\alpha=0{,}95 e z_{1-\alpha/2}\approx 1{,}96). O erro padrão é \sigma/\sqrt{n}=10/\sqrt{25}=10/5=2. O intervalo é
50 \pm 1{,}96\times 2 = 50 \pm 3{,}92,
ou seja (46{,}08,\,53{,}92). Isso é um intervalo concreto. O que a teoria garante é que se você repetisse esse experimento muitas vezes com as mesmas condições e construísse um intervalo igual em cada repetição, cerca de 95\% desses intervalos iriam, no longo prazo, conter \mu. Mas para este intervalo específico não há garantia de contenção; ele ou contém \mu ou não.

Passo 6

Conclusão lógica para responder ao enunciado: a frase original usa a palavra “assegura” como se o intervalo construído numa única amostra garantisse que a verdadeira média populacional esteja contida. Isso está incorreto na interpretação frequentista. Portanto a afirmação é falsa. A versão verdadeira precisa expressar a propriedade em termos de repetição do procedimento e taxa de cobertura.

Resposta

F
Um intervalo de confiança de nível 1-\alpha, construído segundo as melhores práticas, não assegura que a verdadeira média populacional esteja contida no intervalo específico obtido numa única amostra; a afirmação correta é: um intervalo de confiança de nível 1-\alpha tem a propriedade de que, se repetirmos o mesmo procedimento de amostragem e construção do intervalo muitas vezes sob as mesmas condições, aproximadamente 100(1-\alpha)\% dos intervalos assim obtidos conterão a verdadeira média populacional.

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