Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Para amostras de tamanho 100 , o desvio padrão da média amostral \bar{X} é igual a um centésimo do desvio padrão de X. (se não for um centésimo, diga quanto será)

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é: “Para amostras de tamanho 100, o desvio padrão da média amostral \bar{X} é igual a um centésimo do desvio padrão de X.”
Informações dadas: tamanho da amostra n=100; fala-se do desvio padrão da média amostral \bar{X} e do desvio padrão da variável original X. Se a afirmação for falsa, devo reescrevê-la de forma verdadeira.

Passo 2

Vamos definir claramente as variáveis e suposições que normalmente estão implícitas nesse tipo de questão. Suponha que X_1,X_2,\dots,X_n sejam amostras independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média \mu e variância \sigma^2. A média amostral é
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
Aqui \sigma é o desvio padrão de cada X_i (ou seja, do X mencionado no enunciado). Essas são as hipóteses padrão para calcular o desvio padrão da média amostral.

Passo 3

Vou calcular a variância da média amostral passo a passo, explicando cada propriedade usada.
Propriedade usada 1: se a é constante e Y é uma variável aleatória, então \operatorname{Var}(aY)=a^2\operatorname{Var}(Y).
Propriedade usada 2: para variáveis independentes Y_1,\dots,Y_n, \operatorname{Var}\big(\sum_{i=1}^n Y_i\big)=\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(Y_i).
Aplicando essas propriedades:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) =\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right) =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i).
Como todos os \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2,
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\cdot n\cdot\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}.

Passo 4

Desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Logo o desvio padrão da média amostral é
\sigma_{\bar{X}}=\sqrt{\operatorname{Var}(\bar{X})}=\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Para n=100 temos \sqrt{n}=\sqrt{100}=10, então
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{10}.
Isto significa que a redução do desvio padrão da média em relação ao desvio padrão de X é um décimo, não um centésimo. Um exemplo numérico: se \sigma=5, então \sigma_{\bar{X}}=5/10=0,5 (e não 5/100=0,05).

Passo 5

Conclusão e reformulação da afirmação. A afirmação dada é falsa. A forma correta da afirmação é: “Para amostras de tamanho 100, o desvio padrão da média amostral \bar{X} é igual a um décimo do desvio padrão de X.” Em forma geral a relação é \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n}.

Resposta

F — Para amostras de tamanho 100, o desvio padrão da média amostral \bar{X} é igual a um décimo do desvio padrão de X; ou seja, \sigma_{\bar{X}}=\sigma_X/10.

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