Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Para amostras de tamanho 100 , o desvio padrão da média amostral
é igual a um centésimo do desvio padrão de
. (se não for um centésimo, diga quanto será)
[ ] Para amostras de tamanho 100 , o desvio padrão da média amostral
Passo 1
O enunciado pede que eu classifique a afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é: “Para amostras de tamanho
, o desvio padrão da média amostral
é igual a um centésimo do desvio padrão de
.”
Informações dadas: tamanho da amostra ; fala-se do desvio padrão da média amostral
e do desvio padrão da variável original
. Se a afirmação for falsa, devo reescrevê-la de forma verdadeira.
Informações dadas: tamanho da amostra
Passo 2
Vamos definir claramente as variáveis e suposições que normalmente estão implícitas nesse tipo de questão. Suponha que
sejam amostras independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média
e variância
. A média amostral é
Aqui
é o desvio padrão de cada
(ou seja, do
mencionado no enunciado). Essas são as hipóteses padrão para calcular o desvio padrão da média amostral.
Passo 3
Vou calcular a variância da média amostral passo a passo, explicando cada propriedade usada.
Propriedade usada 1: se
é constante e
é uma variável aleatória, então
.
Propriedade usada 2: para variáveis independentes ,
.
Propriedade usada 2: para variáveis independentes
Aplicando essas propriedades:
Como todos os
,
Passo 4
Desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Logo o desvio padrão da média amostral é
Para
temos
, então
Isto significa que a redução do desvio padrão da média em relação ao desvio padrão de
é um décimo, não um centésimo. Um exemplo numérico: se
, então
(e não
).
Passo 5
Conclusão e reformulação da afirmação. A afirmação dada é falsa. A forma correta da afirmação é: “Para amostras de tamanho
, o desvio padrão da média amostral
é igual a um décimo do desvio padrão de
.” Em forma geral a relação é
.
Resposta
F — Para amostras de tamanho
, o desvio padrão da média amostral
é igual a um décimo do desvio padrão de
; ou seja,
.