Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Para uma mesma amostra, um intervalo com
de confiança tem comprimento maior do que o intervalo com
de confiança.
[ ] Para uma mesma amostra, um intervalo com
Passo 1
O enunciado apresenta uma única afirmação que pede para ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação é:
Para uma mesma amostra, um intervalo com
de confiança tem comprimento maior do que o intervalo com
de confiança.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Estamos comparando comprimentos de dois intervalos de confiança construídos a partir da mesma amostra.
- Os níveis de confiança são
e . - Não há outros dados numéricos (como
ou ), portanto a comparação deve ser feita em termos gerais.
Passo 2
O que é um intervalo de confiança, de modo bem prático?
- Um intervalo de confiança (IC) para um parâmetro (por exemplo, a média) é um intervalo construído a partir da amostra que, em muitas repetições do experimento, conteria o valor verdadeiro do parâmetro na proporção do nível de confiança escolhido.
- Exemplo simples: um IC de
quer dizer que, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de dos intervalos construídos conteriam o parâmetro verdadeiro.
Passo 3
Fórmula típica (caso clássico: média com desvio padrão populacional conhecido)
- Notação:
-
: média amostral -
: desvio padrão populacional (assumido conhecido neste caso para explicar a ideia) -
: tamanho da amostra -
: quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para , e usamos )
-
- Um intervalo de confiança para a média costuma ter a forma
- O comprimento total do intervalo (distância entre limite superior e inferior) é
Expliquei cada símbolo para você poder usar isso na prova:
é o erro padrão (medida de variabilidade da média amostral) e
é o multiplicador que ajusta esse erro para o nível de confiança desejado.
Passo 4
Como o nível de confiança afeta o comprimento?
- O fator que depende do nível de confiança é
. - Para maiores níveis de confiança (por exemplo,
em vez de ) o valor de é maior, porque exige-se mais “cobertura” da cauda da distribuição. - Valores típicos (tabelinha mental):
- para
: (vou escrever com vírgula no padrão brasileiro: ) - para
: (aprox.: )
- para
- Como o comprimento é proporcional a
, um maior dá um intervalo mais longo, tudo o mais constante (mesma amostra, mesmo , mesmo ).
Passo 5
Exemplo numérico bem simples para fixar a ideia (faça isso na prova se precisar convencer o examinador):
- Suponha
e . Então . - Comprimento do IC
:
- Comprimento do IC
:
- Resultado: o intervalo de
é mais longo ( ) que o de ( ).
Passo 6
E se
não for conhecido (caso prático mais comum)?
- Usamos a distribuição
com graus de liberdade e o multiplicador é . - A mesma lógica vale: aumentar o nível de confiança aumenta o quantil
, logo aumenta o comprimento do intervalo. - Mesmo para proporções (IC para
usando ), a ideia é a mesma: maior nível de confiança → maior quantil → maior comprimento.
Passo 7
Conclusão final sobre a afirmação dada:
- A afirmação original diz que o IC de
tem comprimento maior que o IC de . Pelas explicações e pelo exemplo numérico, isso é incorreto: na verdade o IC de é maior. - Observação prática: a única situação em que dois intervalos diferentes têm exatamente o mesmo comprimento seria um caso degenerado (por exemplo, variabilidade zero), mas isso não é o cenário considerado tipicamente. Então, para uma mesma amostra e procedimento padrão, maior nível de confiança implica maior comprimento.
Resposta
F
Para uma mesma amostra, um intervalo com de confiança tem comprimento maior do que um intervalo com
de confiança.
Para uma mesma amostra, um intervalo com