Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Para uma mesma amostra, um intervalo com 95 \% de confiança tem comprimento maior do que o intervalo com 99 \% de confiança.

Passo 1

O enunciado apresenta uma única afirmação que pede para ser classificada como verdadeira (V) ou falsa (F). A afirmação é:
Para uma mesma amostra, um intervalo com 95\% de confiança tem comprimento maior do que o intervalo com 99\% de confiança.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Estamos comparando comprimentos de dois intervalos de confiança construídos a partir da mesma amostra.
  • Os níveis de confiança são 95\% e 99\%.
  • Não há outros dados numéricos (como n ou \sigma), portanto a comparação deve ser feita em termos gerais.

Passo 2

O que é um intervalo de confiança, de modo bem prático?
  • Um intervalo de confiança (IC) para um parâmetro (por exemplo, a média) é um intervalo construído a partir da amostra que, em muitas repetições do experimento, conteria o valor verdadeiro do parâmetro na proporção do nível de confiança escolhido.
  • Exemplo simples: um IC de 95\% quer dizer que, se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos construídos conteriam o parâmetro verdadeiro.

Passo 3

Fórmula típica (caso clássico: média com desvio padrão populacional conhecido)
  • Notação:
    • \bar{x}: média amostral
    • \sigma: desvio padrão populacional (assumido conhecido neste caso para explicar a ideia)
    • n: tamanho da amostra
    • z_{\alpha/2}: quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança (por exemplo, para 95\%, \alpha=0,05 e usamos z_{0,025})
  • Um intervalo de confiança para a média costuma ter a forma
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • O comprimento total do intervalo (distância entre limite superior e inferior) é
\text{comprimento} = 2\,z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei cada símbolo para você poder usar isso na prova: \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão (medida de variabilidade da média amostral) e z_{\alpha/2} é o multiplicador que ajusta esse erro para o nível de confiança desejado.

Passo 4

Como o nível de confiança afeta o comprimento?
  • O fator que depende do nível de confiança é z_{\alpha/2}.
  • Para maiores níveis de confiança (por exemplo, 99\% em vez de 95\%) o valor de z_{\alpha/2} é maior, porque exige-se mais “cobertura” da cauda da distribuição.
  • Valores típicos (tabelinha mental):
    • para 95\%: z_{0,025}\approx 1,96 (vou escrever com vírgula no padrão brasileiro: \,1,96)
    • para 99\%: z_{0,005}\approx 2,58 (aprox.: \,2,58)
  • Como o comprimento é proporcional a z_{\alpha/2}, um z maior dá um intervalo mais longo, tudo o mais constante (mesma amostra, mesmo \sigma, mesmo n).

Passo 5

Exemplo numérico bem simples para fixar a ideia (faça isso na prova se precisar convencer o examinador):
  • Suponha \sigma=10 e n=25. Então \sigma/\sqrt{n}=10/5=2.
  • Comprimento do IC 95\%:
2 \cdot 1,96 \cdot 2 = 7,84.
  • Comprimento do IC 99\%:
2 \cdot 2,58 \cdot 2 = 10,32.
  • Resultado: o intervalo de 99\% é mais longo ( 10,32) que o de 95\% ( 7,84).

Passo 6

E se \sigma não for conhecido (caso prático mais comum)?
  • Usamos a distribuição t com n-1 graus de liberdade e o multiplicador é t_{\alpha/2,n-1}.
  • A mesma lógica vale: aumentar o nível de confiança aumenta o quantil t_{\alpha/2,n-1}, logo aumenta o comprimento do intervalo.
  • Mesmo para proporções (IC para p usando z), a ideia é a mesma: maior nível de confiança → maior quantil → maior comprimento.

Passo 7

Conclusão final sobre a afirmação dada:
  • A afirmação original diz que o IC de 95\% tem comprimento maior que o IC de 99\%. Pelas explicações e pelo exemplo numérico, isso é incorreto: na verdade o IC de 99\% é maior.
  • Observação prática: a única situação em que dois intervalos diferentes têm exatamente o mesmo comprimento seria um caso degenerado (por exemplo, variabilidade zero), mas isso não é o cenário considerado tipicamente. Então, para uma mesma amostra e procedimento padrão, maior nível de confiança implica maior comprimento.

Resposta

F
Para uma mesma amostra, um intervalo com 99\% de confiança tem comprimento maior do que um intervalo com 95\% de confiança.

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