Dado um número positivo qualquer, calculemos o seu cubo menos o seu quadrado. Essa quantidade:
(I) é positiva, se esse número é muito pequeno
(II) é negativa, se esse número é muito grande
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
(I) é positiva, se esse número é muito pequeno
(II) é negativa, se esse número é muito grande
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei
Passo 1
O enunciado pede para analisar o sinal da quantidade “o cubo menos o quadrado” de um número positivo qualquer. Foi dado: duas afirmações sobre esse sinal quando o número é “muito pequeno” e quando é “muito grande”:
- (I) A quantidade é positiva se o número é muito pequeno.
- (II) A quantidade é negativa se o número é muito grande.
O objetivo é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas (escolher uma única alternativa).
Passo 2
Escrevemos a quantidade em termos de uma variável. Seja
um número positivo. A expressão pedida é
Para entender o sinal, fatoramos a expressão: ela tem um fator comum
. Assim,
Passo 3
Interpretação dos fatores (regras básicas de sinal):
- O fator
é sempre não negativo; como , temos . - O sinal total de
é, portanto, o mesmo do sinal de , porque multiplicar por um número positivo não muda o sinal.
Logo o sinal dedepende apenas de : - se
(ou seja, ), então ; - se
(ou seja, ), então ; - se
(ou seja, ), então .
Passo 4
Analisando (I): “é positiva, se esse número é muito pequeno”.
- Em linguagem de números positivos, “muito pequeno” normalmente significa um número positivo menor que
(por exemplo , , etc.). - Para
concluímos que (pela análise do passo anterior). - Exemplo numérico: para
,
Portanto a afirmação (I) é falsa.
Passo 5
Analisando (II): “é negativa, se esse número é muito grande”.
- “Muito grande” significa
(por exemplo , , etc.). - Para
concluímos que . - Exemplo numérico: para
,
Portanto a afirmação (II) também é falsa.
Passo 6
Resumo final lógico: para
a expressão é negativa; para
é zero; para
é positiva. Logo nem (I) nem (II) estão corretas.
Resposta
Ambas são Falsas