Dado um número positivo qualquer, calculemos o seu cubo menos o seu quadrado. Essa quantidade:
(I) é positiva, se esse número é muito pequeno
(II) é negativa, se esse número é muito grande
Marcar apenas uma oval.
◯ Apenas (I) é Verdadeira
◯ Apenas (II) é Verdadeira
◯ Ambas são Verdadeiras
◯ Ambas são Falsas
◯ não sei

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sinal da quantidade “o cubo menos o quadrado” de um número positivo qualquer. Foi dado: duas afirmações sobre esse sinal quando o número é “muito pequeno” e quando é “muito grande”:
  • (I) A quantidade é positiva se o número é muito pequeno.
  • (II) A quantidade é negativa se o número é muito grande.
    O objetivo é decidir quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas (escolher uma única alternativa).

Passo 2

Escrevemos a quantidade em termos de uma variável. Seja x um número positivo. A expressão pedida é
x^3-x^2.
Para entender o sinal, fatoramos a expressão: ela tem um fator comum x^2. Assim,
x^3-x^2 = x^2(x-1).

Passo 3

Interpretação dos fatores (regras básicas de sinal):
  • O fator x^2 é sempre não negativo; como x>0, temos x^2>0.
  • O sinal total de x^2(x-1) é, portanto, o mesmo do sinal de x-1, porque multiplicar por um número positivo não muda o sinal.
    Logo o sinal de x^3-x^2 depende apenas de x-1:
  • se x-1>0 (ou seja, x>1), então x^3-x^2>0;
  • se x-1=0 (ou seja, x=1), então x^3-x^2=0;
  • se x-1<0 (ou seja, 0<x<1), então x^3-x^2<0.

Passo 4

Analisando (I): “é positiva, se esse número é muito pequeno”.
  • Em linguagem de números positivos, “muito pequeno” normalmente significa um número positivo menor que 1 (por exemplo 0{,}1, 0{,}01, etc.).
  • Para 0<x<1 concluímos que x^3-x^2<0 (pela análise do passo anterior).
  • Exemplo numérico: para x=0{,}1,
0{,}1^3-0{,}1^2 = 0{,}001-0{,}01 = -0{,}009 < 0.
Portanto a afirmação (I) é falsa.

Passo 5

Analisando (II): “é negativa, se esse número é muito grande”.
  • “Muito grande” significa x>1 (por exemplo x=10, x=100, etc.).
  • Para x>1 concluímos que x^3-x^2>0.
  • Exemplo numérico: para x=10,
10^3-10^2 = 1000-100 = 900 > 0.
Portanto a afirmação (II) também é falsa.

Passo 6

Resumo final lógico: para 0<x<1 a expressão é negativa; para x=1 é zero; para x>1 é positiva. Logo nem (I) nem (II) estão corretas.

Resposta

Ambas são Falsas

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