Usando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para calcular a primeira derivada
.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de (numerador e denominador).
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
Passo 2
Plano de ataque (regras que vamos aplicar). Vou usar a regra do quociente e a regra da cadeia. As fórmulas que preciso são:
Regra do quociente: para
,
Regra da cadeia (para função composta): se
então
Também preciso da derivada de
: se
então
E da derivada de
, que aplicando a regra da cadeia (ou a regra do produto) dá
Passo 3
Identificar numerador e denominador e calcular suas derivadas. Defino
Primeiro
:
Agora para
uso a regra da cadeia com
. Então
. Usando o resultado do passo anterior para
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Aplicar a regra do quociente. Substituo
na fórmula
Portanto
Passo 5
Fatorar e simplificar o numerador para ficar mais compacto. No numerador há fator comum
. Fazendo a fatoração:
Portanto a derivada simplificada é