Usando as regras de derivação, calcule a primeira derivada das funções abaixo:
f(x)=\frac{\left[\operatorname{sec} \left(x^{2}+1\right)\right]^{2}}{\left(x^{2}+2\right)}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=\frac{\left[\operatorname{sec}\left(x^{2}+1\right)\right]^{2}}{\left(x^{2}+2\right)}
e pede para calcular a primeira derivada f'(x).
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x) (numerador e denominador).

Passo 2

Plano de ataque (regras que vamos aplicar). Vou usar a regra do quociente e a regra da cadeia. As fórmulas que preciso são:
Regra do quociente: para f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)},
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}
Regra da cadeia (para função composta): se h(x)=H(G(x)) então
h'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x).
Também preciso da derivada de \operatorname{sec}(u): se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u'(x).
E da derivada de (\operatorname{sec}(u))^{2}, que aplicando a regra da cadeia (ou a regra do produto) dá
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sec}(u)\big)^{2}=2\operatorname{sec}(u)\cdot\frac{d}{dx}\operatorname{sec}(u)=2\operatorname{sec}(u)\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot u'(x)\big)=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\,u'(x).

Passo 3

Identificar numerador e denominador e calcular suas derivadas. Defino
N(x)=\big(\operatorname{sec}(x^{2}+1)\big)^{2},\qquad D(x)=x^{2}+2.
Primeiro D'(x):
D'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2}+2)=2x.
Agora para N'(x) uso a regra da cadeia com u(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=2x. Usando o resultado do passo anterior para (\operatorname{sec} u)^{2}:
N'(x)=2\operatorname{sec}^{2}(u)\tan(u)\,u'(x).
Substituindo u(x)=x^{2}+1 e u'(x)=2x obtemos
N'(x)=2\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}+1\big)\tan\big(x^{2}+1\big)\cdot(2x)=4x\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}+1\big)\tan\big(x^{2}+1\big).

Passo 4

Aplicar a regra do quociente. Substituo N, N', D, D' na fórmula
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Portanto
f'(x)=\frac{\big(4x\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1)\tan(x^{2}+1)\big)\cdot(x^{2}+2)-\big(\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1)\big)\cdot(2x)}{(x^{2}+2)^{2}}.

Passo 5

Fatorar e simplificar o numerador para ficar mais compacto. No numerador há fator comum 2x\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1). Fazendo a fatoração:
\begin{aligned} \text{num} &=4x\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1)\tan(x^{2}+1)\,(x^{2}+2)-2x\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1)\\[4pt] &=2x\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1)\Big(2(x^{2}+2)\tan(x^{2}+1)-1\Big). \end{aligned}
Portanto a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{2x\operatorname{sec}^{2}(x^{2}+1)\big(2(x^{2}+2)\tan(x^{2}+1)-1\big)}{(x^{2}+2)^{2}}.]

Resposta

f'(x)=\frac{2x\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}+1\big)\Big(2\big(x^{2}+2\big)\tan\big(x^{2}+1\big)-1\Big)}{(x^{2}+2)^{2}}

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