Encontre a solução do sistema linear homogêneo de e.d.o.'s usando o método de autovalores e autovetores:
\mathbf{x}^{\prime}(t)=\left(\begin{array}{cc} 4 & 1 \\\\ -2 & 1 \end{array}\right) \mathbf{x}(t)

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes. Escrevendo em forma matricial:
\mathbf{x}'(t)=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}\mathbf{x}(t).
O que o problema pede é encontrar a solução geral \mathbf{x}(t) desse sistema (isto é, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais, se houver).
Informações fornecidas:
  • A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
  • O sistema é homogêneo (lado direito é A\mathbf{x}(t) sem termo independente).]

Passo 2

Qual método usar e por quê. Para sistemas lineares com matriz constante A é natural tentar o método de autovalores e autovetores: procurar soluções da forma
\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v},
onde \lambda é um número (autovalor) e \mathbf{v} é um vetor não-nulo (autovetor). Vou mostrar por que isso funciona: ao substituir \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} em \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t) obtém-se
\lambda e^{\lambda t}\mathbf{v}=e^{\lambda t}A\mathbf{v}\quad\Rightarrow\quad A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v},
ou seja, \lambda e \mathbf{v} devem satisfazer a equação de autovalor de A. Então o problema reduz-se a achar autovalores e autovetores de A.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de A. Pelo determinante
\det(A-\lambda I)=\det\!\begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\[4pt]-2 & 1-\lambda\end{pmatrix} =(4-\lambda)(1-\lambda)-(-2)\cdot 1.
Agora desenvolvendo:
(4-\lambda)(1-\lambda)+2 =4-4\lambda-\lambda+\lambda^2+2 =\lambda^2-5\lambda+6.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2-5\lambda+6.]

Passo 4

Encontrar os autovalores resolvendo \lambda^2-5\lambda+6=0. Fatorando:
\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Logo os autovalores são
\lambda_1=2\quad\text{e}\quad\lambda_2=3.

Passo 5

Calcular um autovetor associado a \lambda_1=2. Resolver (A-2I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A-2I=\begin{pmatrix}4-2 & 1\\[4pt]-2 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
As equações são
2v_1+v_2=0,\qquad -2v_1- v_2=0,
que são equivalentes. Da primeira vem v_2=-2v_1. Tomando v_1=1 (qualquer escala não-nula funciona), um autovetor correspondente é
\mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular um autovetor associado a \lambda_2=3. Resolver (A-3I)\mathbf{v}=\mathbf{0}:
A-3I=\begin{pmatrix}4-3 & 1\\[4pt]-2 & 1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix}.
As equações são
v_1+v_2=0,\qquad -2v_1-2v_2=0,
novamente equivalentes. Da primeira vem v_2=-v_1. Tomando v_1=1, um autovetor é
\mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montar a solução geral. Como os autovalores são reais e distintos, os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 formam uma base de \mathbb{R}^2, e a solução geral é combinação linear das soluções exponenciais:
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{\lambda_1 t}\mathbf{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\mathbf{v}_2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinadas por condições iniciais, se fornecidas). Substituindo valores obtidos:
\mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Escrevendo as componentes:
x_1(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{3t},\qquad x_2(t)=-2C_1 e^{2t}-C_2 e^{3t}.]

Passo 8

Verificação rápida (intuição): derivando \mathbf{x}(t) obtém-se
\mathbf{x}'(t)=2C_1 e^{2t}\mathbf{v}_1 + 3C_2 e^{3t}\mathbf{v}_2
e, como A\mathbf{v}_1=2\mathbf{v}_1 e A\mathbf{v}_2=3\mathbf{v}_2 (propriedade de autovetores), tem-se
A\mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}A\mathbf{v}_1 + C_2 e^{3t}A\mathbf{v}_2 =2C_1 e^{2t}\mathbf{v}_1 + 3C_2 e^{3t}\mathbf{v}_2=\mathbf{x}'(t),
portanto a solução encontrada satisfaz a equação do sistema.

Passo 9

Observações finais e dica para prova: para resolver sistemas 2×2 desse tipo, siga estes passos rápidos na prova: (1) calcule o polinômio característico \det(A-\lambda I); (2) ache raízes \lambda; (3) para cada \lambda resolva (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} para obter \mathbf{v}; (4) escreva \mathbf{x}(t)=\sum C_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i. Se os autovalores forem complexos ou com multiplicidade, há passos extras — mas para autovalores reais e distintos o procedimento acima basta. Você está indo bem — isso vira automático com prática!

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}(t)=C_1 e^{2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}+C_2 e^{3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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