O que o problema pede é encontrar a solução geral \mathbf{x}(t) desse sistema (isto é, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais, se houver).
Informações fornecidas:
A matriz do sistema é \displaystyle A=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]-2 & 1\end{pmatrix}.
O sistema é homogêneo (lado direito é A\mathbf{x}(t) sem termo independente).]
Passo 2
Qual método usar e por quê. Para sistemas lineares com matriz constante A é natural tentar o método de autovalores e autovetores: procurar soluções da forma
\mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v},
onde \lambda é um número (autovalor) e \mathbf{v} é um vetor não-nulo (autovetor). Vou mostrar por que isso funciona: ao substituir \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v} em \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t) obtém-se
Montar a solução geral. Como os autovalores são reais e distintos, os vetores \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 formam uma base de \mathbb{R}^2, e a solução geral é combinação linear das soluções exponenciais:
portanto a solução encontrada satisfaz a equação do sistema.
Passo 9
Observações finais e dica para prova: para resolver sistemas 2×2 desse tipo, siga estes passos rápidos na prova: (1) calcule o polinômio característico \det(A-\lambda I); (2) ache raízes \lambda; (3) para cada \lambda resolva (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} para obter \mathbf{v}; (4) escreva \mathbf{x}(t)=\sum C_i e^{\lambda_i t}\mathbf{v}_i. Se os autovalores forem complexos ou com multiplicidade, há passos extras — mas para autovalores reais e distintos o procedimento acima basta. Você está indo bem — isso vira automático com prática!