Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) para cada uma das afirmações abaixo. No caso de classificar a afirmação como falsa, reescreva-a de maneira a torná-la verdadeira.
[ ] Se o procedimento de construção de intervalo com 95 \% de confiança para a média é repetido um número grande de vezes, aproximadamente 5 \% dos intervalos construídos não devem conter o verdadeiro valor da média populacional.

Passo 1

O enunciado apresenta uma única afirmação para classificar como verdadeira ou falsa. A afirmação é:
Se o procedimento de construção de intervalo com 95\% de confiança para a média é repetido um número grande de vezes, aproximadamente 5\% dos intervalos construídos não devem conter o verdadeiro valor da média populacional.
Informações dadas e o que se pede:
  • Dado: nível de confiança 95\%.
  • Dado: procedimento de construção de intervalos para a média (assume-se o procedimento padrão de estimar a média e construir o intervalo com o nível indicado).
  • Pergunta: a afirmação sobre a frequência com que os intervalos não contêm a média populacional está correta?

Passo 2

Vamos entender claramente o que significa "intervalo de confiança de 95\%" — essa é a parte teórica essencial.
Definição intuitiva e formal: um intervalo de confiança de 95\% para a média populacional \mu é um método de construção de intervalos tal que, se repetirmos todo o procedimento de amostragem e construção do intervalo muitas vezes, aproximadamente 95\% dos intervalos obtidos conterão o valor verdadeiro \mu. Em termos de probabilidade (frequentista), escrevemos a propriedade do procedimento como
\Pr(\text{o intervalo contém }\mu) \approx 0,95.é
Aqui:
  • \mu é a média verdadeira da população (valor fixo mas desconhecido);
  • a probabilidade é sobre a repetição do procedimento amostral (ou seja, sobre as amostras que escolhemos).

Passo 3

Mostro a forma concreta do intervalo no caso clássico (variância populacional conhecida) para que você veja de onde vem o 95\%. Seja \bar{X} a média amostral, \sigma o desvio-padrão populacional (conhecido) e n o tamanho da amostra. O intervalo de confiança de nível 95\% é
\bar{X} \pm z_{0,975}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Expliquei as partes:
  • \bar{X} é o centro do intervalo (estimador pontual de \mu);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro-padrão de \bar{X};
  • z_{0,975} é o quantil da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z \le z_{0,975})=0,975. Numericamente \,z_{0,975}\approx 1,96.
A razão do 0,975 é que queremos deixar 2,5\% de probabilidade em cada cauda da distribuição simétrica, totalizando 5\% fora do intervalo e 95\% dentro.

Passo 4

Agora a interpretação probabilística do item anterior: para esse procedimento,
\Pr\!\left(\bar{X} - z_{0,975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{0,975}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 0,95.
Isto quer dizer exatamente que, ao repetir muitas vezes a amostragem e construir o intervalo usando a mesma regra, em aproximadamente 95\% das repetições o intervalo conterá \mu. Consequentemente, em aproximadamente 100\%-95\%=5\% das repetições o intervalo NÃO conterá \mu. Essa é a interpretação frequencista padrão de intervalos de confiança.

Passo 5

Pequena observação para casos práticos: quando \sigma é desconhecido usamos a distribuição t e o quantil t_{0,975,\,\nu} (onde \nu=n-1 graus de liberdade). Para amostras grandes, o t aproxima a normal e a propriedade de que cerca de 5\% dos intervalos não contêm \mu continua válida para um procedimento com nível 95\%. Em resumo, tanto com \sigma conhecido quanto com \sigma estimado (e n grande), a ideia de que aproximadamente 5\% dos intervalos falham em conter \mu permanece correta.

Passo 6

Conclusão pedagógica e incentivo: o enunciado está afirmando a interpretação correta do nível de confiança na abordagem de repetição do experimento. É natural ficar com dúvidas sobre “o que significa 95%”, mas agora você já tem a regra prática: construir um intervalo de confiança de 95\% significa que o método acerta (contém \mu) em cerca de 95\% das repetições, e erra em cerca de 5\%. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no raciocínio!

Resposta

V

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